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1、问题,？,一、第一类换元法,第二节 换元法积分法,第一类换元公式（凑微分法）,定理1,设 f(u)具有原函数，,可导，,则有换元公式,此公式可按下列步骤使用:,凑微分,换元,凑微分,换元,积分,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,常用的凑微分公式:,一般地,例3 求,解,例4 求,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,原式,例8 求,解,另解,练习 求不定积分,例9 求,解,特殊类型的三角函数的积分,说明,正奇次项去凑微分.,例10 求不定积分,说明,正偶数，则先用半角公式降低被积函数的次数，,然后积分。,例11 求,说明,例12 求,解,说明,当被积函数是,时，利用积,化和
2、差公式拆开后积分,练习,求不定积分,另解,例13 求,解（一）,解（二）,（三）,类似地可推出,例14 求,解,思考题,求积分,求,解(1),解,例15 设 求.,令,二、第二类换元法,定理2,是单调的、可导的函数，,具有原函数，,则有换元公式,证,求微分,换元,积分,例3 求,解,令,例4 求,解,令,例5 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例7 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例9 求,解,令,（分母的阶较高）,说明(5)当被积函数含有根式 时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）,例10 求,解,令,基本积分表,
