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1、第四章 向量组的线性相关性,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,第一节 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念二、向量空间三、向量组与矩阵四、向量的线性组合和线性表示,4.1 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念,定义1:n 个有次序的数a1,a2,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第 i 个数ai 称为第 i 个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.,例如:(1,2,n)为 n 维实向量.(1+2i,2+3i,n+(n+1)i)为 n 维复向量.,写成一行的 n 维向量,称为行向量,也就是行矩阵,通常用aT,bT,T,T 等表示,如:,
2、写成一列的 n 维向量,称为列向量,也就是列矩阵,通常用a,b,等表示,如:,注意:,1.行向量和列向量总被看作是不同的向量;2.行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;3.当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.,二、向量空间,向量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象:可随意平行移动的有向线段,代数形象:向量的坐标表示式,坐标系,当 n 3 时,空间,解析几何,线性代数,点空间:点的集合,向量空间:向量的集合,坐标系,代数形象:向量空间中的平面,几何形象:空间曲线、空间曲面,点(x,y,z)的集合平面,向量(x,y,z)T的集合,当 n 3
3、 时,向量不再有“几何”意义,仍沿用几何空间的名词.但其意义更为广泛.,叫做n 维向量空间.,叫做n维向量空间Rn中的n1维超平面.,例如:在描述一空间运动物体时,不仅与所处的空间位置(x,y,z)有关,还与时间 t 有关,这就是四维时空空间,用向量表示为(x,y,z,t).,机身的仰角,机身的水平转角(0 2);,机翼的转角(-);,例如:确定飞机的状态,需要以下6个参数:,飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z).,所以确定飞机的状态需用6维向量(x,y,z,)表示.,在日常工作,学习和生活中,有许多问题都需要用向量来进行描述.,三、向量组与矩阵,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
4、所组成的集合叫做向量组.,例如:矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:,向量组a1,a2,an称为矩阵A的列向量组.,向量组1T,2T,mT 称为矩阵A的行向量组.,反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,类似地,矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:,m个n维行向量所组成的向量组1T,2T,mT 构成一个mn矩阵,n个m维列向量所组成的向量组a1,a2,an构成一个mn矩阵,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.,四、线性组合与线性表示,定义:给定向量组A:1,2,m,对于任何一组实数k1,k2,km,向量k11+k22+kmm称为向量组A:1,2,
5、m的一个线性组合,k1,k2,km称为这个线性组合的系数.,线性表示：给定向量组A:1,2,m和向量b,如果存在一组数1,2,m,使b=11+22+mm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.即线性方程组11+22+mm=b有解.,定义:设有两向量组A:1,2,m 与 B:1,2,s.若B组中的每一个向量都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.,定理1:向量b能由向量组A:1,2,m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,m)与矩阵B=(1,2,m,b)的秩相等.,若记A=(1,2,m)和B=(
6、1,2,s),向量组B能由向量组A线性表示,即对每一个向量j(j=1,2,s),存在数k1j,k2j,kmj,使j=k1j 1+k2j 2+kmj m,即,从而,矩阵K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵.,若Cmn=AmsBsn,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵:,同时,若Cmn=AmsBsn 的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵:,设矩阵A经初等行变换变成B,则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表示.由初等变换可逆性可知:A的行向量组也能由B的行向量组线性表示.于是,A的行向量组与B
7、的行向量组等价.类似地,若矩阵A经初等列变换变成B,则A的列向量组与B的列向量组等价.,也就是说矩阵方程(1,2,m)X=(1,2,s)有解.,则由上一章的结论可得:,若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表示,即存在矩阵K,使(1,2,s)=(1,2,m)K,定理2:向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,m)的秩与矩阵(A,B)=(1,2,m,1,s)的秩相等,即R(A)=R(A，B).,推论:向量组A:1,2,m与向量组B:1,2,s等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A，B),其中A和B是由向量组A和B所构成的矩阵.,R
8、(A)=R(A，B),事实上,=R(B，A),=R(B),定理3:若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表示,则R(1,2,s)R(1,2,m),即R(B)R(A).,以上所讨论的内容建立在有限个向量的向量组与矩阵之间有对应关系,从而以上结论之间有如下结果:,若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表示 有矩阵K,使(1,2,s)=(1,2,m)K 矩阵方程(1,2,m)X=(1,2,s)有解.,一般地,R(B)R(A,B),R(A)R(A,B),则有,1.对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为方程组A的一个线性组合;2.若方程组B的每一个方程都是方程组A的线
9、性组合,则称方程组B能由方程组A线性表示,此时方程组A的解一定是方程组B的解;3.若方程组A与方程组B能相互线性表示,则称方程组A与方程组B等价,等价方程组是同解的.,向量组的线性组合,线性表示,等价等概念的一个重要应用是用来描述线性方程组:,例1:设,证明:向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,并求表示式.,证明:要证向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,需要证明:矩阵A=(a1,a2,a3)与B=(a1,a2,a3,b)的秩相等.,为此将B化为行最简形:,R(A)=R(B),因此,向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示.,由B的行最简形可得方程组Ax=b通解为:,故表示式为:b=
10、(a1,a2,a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中c为任意常数.,b=2a1a2.,特别地,取c=0,得表示式为:,证明:记A=(a1,a2),B=(b1,b2,b3).,论,只需证R(A)=R(B)=R(A,B).,将(A,B)化为行阶梯形:,根据定理2的推,得R(A)=R(A,B)=2.,又容易看出B中有2阶非零子式,则 2R(B),R(A)=R(B)=R(A,B).,因此,故 R(B)=2.,R(A,B)=2.,例3:n 阶单位矩阵E=(e1,e2,en)的列向量称为n维单位坐标向量.证明:n维单位坐标向量组E:e1,e2,en能由nm矩阵A=(a1,a2,am)的列
11、向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是R(A)=n.,证明:根据定理2,向量组E:e1,e2,en能由向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,E).,因此R(A)=R(A,E)=n.,故R(A,E)n,而 R(A,E)R(E)=n,又因矩阵(A,E)仅有n行,本例的结论用矩阵方程的方式可描述为:矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是R(A)=n.,用矩阵的方式可描述为:对矩阵Amn,存在Qnm使AQ=Em的充分必要条件是R(A)=m.存在Pnm使PA=En的充分必要条件是R(A)=n.,当A为n阶方阵时,P,Q就是A的逆矩阵.因此,上述结论可以看作逆矩阵概念的推广.,五、小结,1.n维向量的概念,实向量,复向量;2.向量的表示方法,行向量与列向量;3.向量,向量组及线性组合与线性表示的概念,由矩阵的秩给出判定的结论;4.有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系.,作业P108-3 4,证明:任意一个n维列向量a 都能由 n 维单位坐标向量组E:e1,e2,en线性表示.,思考题解答,思考题,设n维列向量a 为,而,则显然有:a=1e1+2e2+nen.,
