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3.4 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.,定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶 导数为:,其中C为在函数 f(z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部全含于D.,证 设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即,因此就是要证,按柯西积分公式有,因此,现要证当Dz0时I0,而,f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为 z0 到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|d/2,因此,L是C的长度,这就证得了当 Dz0时,I0.,这就证得了,再利用同样的方法去求极限:,依此类推,用数学归纳法可以证明:,高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例1 求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r 1.,解 1)函数 在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.由高阶导数公式，,由多连通域Cauchy和高阶导数Cauchy公式，可解：,例2 设 其中C:|=2,取正向，|z|2,计算,
