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1、多维随机变量的特征值,数学期望、方差协方差、相关系数,数学期望,若(X,Y)PX=xi,Y=yj,=pij,i,j=1,2,则Z=g(X，Y)的期望,例1 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,例2 随机变量X和Y相互独立，联合密度函数为 求Z=X+Y的数学期望,解：联合密度函数为,练习：181页 6、8,1.E(c)=c,c为常数;2、E(cX)=cE(X),c为常数;,数学期望的性质,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);,5、随机变量X和Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y),推广 E(A+B+Z)=E(A)+E(B)+E(Z);,和的期望等于期望的和,若E(X),
2、E(X2)存在，则 EX-E(X)2 记为D(X),或Var(X).,称 为随机变量的标准差,可见,重要性质 Var(X)=E(X2)-E(X)2.,方差,方差的性质,(1)D(c)=0 即 PX=C=1 D(X)=0;,(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；,(3)若 X，Y 相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,例3 若Xb(n,p)二项分布,求期望和方差,解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,0-1分布,相互独立,例4 设随机变量X U(0,6)，Y N(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互独立，求随机变量U=X-2Y+3Z的数学期望、方差,解
3、E(X)=(0+6)/2=3 D(X)=(6-0)2/12E(Y)=1,D(Y)=3;E(Z)=1/3,D(Z)=1/9,证明:,X，Y 相互独立，E(XY)=E(X)E(Y),证明:设(X,Y)f(x,y)X、Y相互独立,证明:设(X,Y)f(x,y),E(X+Y)=E(X)+E(Y),协方差，相关系数一）协方差定义与性质,1.定义 若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).为X与Y的协方差,易见 COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,书：17
4、0页,二.协方差性质(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=ab COV(X,Y),其中a,b为 常数；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).,例题 设二维变量（X,Y）的联合密度函数为试求：Cov（X,Y）,练习 设随机变量Xb（12,0.5),Y N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差,由公式 COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,我们需要求解E(XY)、E(X
5、)、E(Y),COV(aX+bY,cX+dY)=?,二）.相关系数,1.定义 若X，Y的方差和协方差均存在,且D(X)0,D(Y)0，则,称为X与Y的相关系数.注：若记,称为X和Y的标准化，易知EX*=0，EY*=0.且,2.相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;,例 设(X,Y)服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,D,1,x=y,解,可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,四.协方差矩阵,1.定义 设X1，,Xn为n个r.v.,记cij=cov(X
6、i,Xj),i,j=1,2,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，,Xn的协方差矩阵C。即,作业：183页17、19,关系图,Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)2COV(X,Y).,期望 E(X)方差 EX-E(X)2协方差 COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).,相关系数,以上EX的结果说明了什么？,解1),2),COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);,证明：Cov(X+Y,Z)=E(X+Y)Z-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).,证明：D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=E X-E(X)+Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+E2X-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).,
