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1、多面体欧拉定理的发现,研究性学习课题,二、多面体欧拉公式的发现,问题1：观察以下五个多面体的顶点数V、面数F、棱数E各是多少？它们之间有没有什么关系？,二、多面体欧拉公式的发现,问题2：是否所有的多面体的顶点数V、面数F和棱数E都满足V+F-E=2？我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点数V、面数F和棱数E又是多少？,二、多面体欧拉公式的发现,问题3：什么样的多面体的顶点数V、面数F和棱数E满足V+F-E=2？,像这样的连续变形中，表面可以变成一个球面的多面体叫做简单多面体。,球面,环面,两个对接的球面,二、多面体欧拉公式的发现,问题4：如何证明欧拉公式？,V+F-E=2,简单多面体的欧拉公式
2、：,证明思路一,利用多边形的内角 和公式进行证明.,1.将多面体转化为由多边形组成的平面图形,2.变形中的不变量：,左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为n边形,问题4：如何证明欧拉公式？,图1,图2,3.计算多边形的内角和,(1)设图1中多面体的F个面分别是n1，n2，.，nF边形，各面的 内角总和是多少？,(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它的内角和是多少？,(2)n1+n2+.+nF和多面体的棱数E有什么关系？说出理由.上述内角和是否等于（E-F)?,它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公共顶点只计一次）是多少？,所有其他多边形的内角和是多
3、少？,n1+n2+.+nF=2E,V-m,等于,图1,图2,3.计算多边形的内角和,(4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2),V+F-E=2,(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则所有其他多边形的内角和是多少？,证明思路二,利用拓扑变换的 方法进行证明.,4.总结多面体欧拉公式的发现过程,（1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有什么关系？,（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。,（3）尝试证明猜测的结论。,这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。,三、多面体欧拉公式的应用,（1）19
4、96年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重要贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各是多少？,解：设C60分子中形状为五边形和六 边形的面各为x个和y个,多面体的顶点数V=60,面数F=x+y,另一方面，棱数可以由多边形的边数来表示，即,由以上两个方程可解出,x=12，y=20,答：C60分子中形状为五边形和六边 形的面各有12个和20个。,四、研究性课题,（1）欧拉公式有几种证明方法,（2）欧拉公式的用途,（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作,（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论,（5）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生（包括他的故事、成就等）,五、本节要记住的几个结论,（1）简单多面体满足欧拉公式:V+F-E=2,（2）如果一个简单多面体的面都是m边形，则,（3）如果一个简单多面体的每个顶点都引出m条棱，则,
