大学物理PPT第19章振动.ppt

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1、1,振动与波动,第八章 振动学基础,2,第八章 振动和波动 1 简谐振动 2 简谐振动的合成 3 平面简谐波 4 波的干涉和衍射 5 多普勒效应,3,机械振动：物体在平衡位置附近做来回往复的运动 广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动 物理量：,等等,1 简谐振动,4,(简谐振动）,振动的形式:,5,重要的振动形式简谐振动(S.H.V.)simple harmonic vibration,物理上：一般复杂的非简谐运动是多个简谐振动的合成,6,1.动力学方程例1:弹簧谐振子的振动,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动动力学方程,一、简谐振动的判据,求解

2、该微分方程得：,7,2.运动学表达式,简谐振动的运动学表达式,8,9,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,广义：振动的物理量,特征量：,10,位相,系统的周期性 固有的性质称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,11,1）简谐振动表达式,从对象的运动规律出发（电学规律 力学规律等）,S.H.V.的标准形式,2）动力学方程,S.H.V.的判据,12,例 一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。,解:船静止时浮力与重力平衡，,船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y 轴，

3、船的位移用y 表示。,13,船的位移为y 时船所受合力为：,船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:,因,得:,14,二、简谐振动的描述,1.解析描述,15,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,16,2.曲线描述,17,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,18,1）直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位 即表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图可直观地显示该综量,分析解析式,可知,19,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2）方便地比较振动步调,位移

4、与加速度,称两振动反相,若,20,3）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t=0时 质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间,21,解：设 t 时刻到达末态由已知画出t=0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,22,三.振幅和初相位,由初始条件决定。,由初始条件决定。（重点！）,23,得,振幅、圆频率、初相三个量反映了简谐振动的物理特征，称为简谐振动的三个特征量，由它们可以唯一确定任一具体的

5、谐振动，并由此可确定其振动方程。,对于一定的振动系统，简谐振动的振幅和初相是由初始条件决定的,24,例：一质量为0.01kg的物体做简谐振动，其振幅为0.24m,周期为4s,起始时刻在x=0.12m处，向O x轴负方向运动，试求,（1）t=1.0秒时，物体所处的位置和所受的力,（2）由起始位置运动到x=-0.12m处所需的最短时间,25,解:物体的简谐振动方程为,由题意知，A=0.24m,T=4s,则：,26,t=0时,x=0.12m，代入振动方程得,又因为此时的速度为负值，所以,27,得物体的振动方程为,（1）当t=1.0s时物体所处的位置,负号说明此时物体在平衡位置O点的左方。此时物体所受

6、到的力,28,力的方向沿x轴正方向，指向平衡位置,（2）设物体由起始位置运动到x=-0.12m处所需的最短时间为t，把x=-0.12m代入振动方程，得,则,29,四 简谐振动的能量 如 弹簧谐振子,系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点,30,简谐振动系统机械能守恒,可以由初始机械能求振幅,31,同方向同频率的两个简谐振动合成 同方向同频率、同振幅的多个简谐振动合成 同方向不同频率、同振幅的两个简谐振动合成,两垂直方向的简谐振动合成,同方向振动合成,2 简谐振动的合成,32,一、振动方向相同 1、振动频率相同的两个SHV的合成,结果：仍是谐振动振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,3

7、3,若,反相 合振动减弱,同相 合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相两振动反相,可能的最强振动“振动加振动”不振动,34,二、两个垂直方向谐振动的合成1.同频率的垂直谐振动合成,消去时间t得：,轨迹方程是椭圆,即 合成的一般结果是椭圆,35,不同 椭圆形状、旋向也不同,36,一 机械波产生的条件,3 平面简谐波,1 机械波的基本概念,一、波的产生二、横波和纵波三、波长 波的周期和频率 波速,37,一、机械波的产生,电磁波 只需振源 可在真空中传播,1、机械波机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内的传播,2.机械波产生的条件 振源 弹性介质,38,39,特征：,(1)介质的质点只在平衡位

8、置附近振动，并未随波向前传播，波的传播不是介质质点的传播。,(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。,(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现-波是振动状态的传播 波是相位的传播-沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,(4)同相点-质元的振动状态相同,相邻 波长 相位差2,40,二、横波 纵波横波：各振动方向与波传播方向垂直纵波：各振动方向与波传播方向平行,41,水表面的波既非横波又非纵波但可以看作是横波与纵波的叠加,波速,波是振动状态的传播而介质质点只在各自的平衡位置附近振动，不会随振动而流走,42,三、波长 波的周期和频率 波速,波的周期（或频率）等于波源振动

9、周期（或频率）,2、周期和频率周期（T）波前进一个波长距离所需的时间。,频率（）单位时间内波动所传播的完整波的数目，等于周期的倒数。,1、波长（）沿波传播方向两个相邻的、相位差为2 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。,43,3、波速（）：振动状态（振动相位）传播的速度,二 平面简谐波的波动方程,1、平面简谐波,简谐振动在均匀无吸收的介质中传播形成的波。,平面简谐波是最简单最基本的波；任何非简谐波可以看成是由若干个频率不同的简谐波的叠加。,2、波动方程：描述不同质点在任意时刻t的位移y，确定y（x，t）,44,2.平面简谐波波动方程,平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方

10、向传播，波速为u。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为,45,考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点的位移就是O 点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于O点，其相位差为 t。,P点处质点在时刻t 的位移为：,46,因,波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。,利用关系式 和，并概括波的两种可能的传播方向,平面简谐波波动方程的几种标准形式可表示如下:,如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:,47,48,如果原点处质点振动的

11、初相位为0,则波动方程变为,这里,u是波动中质点的振动速度,注意和波的速度区别开来,在该式两边对t求一次偏导数,得,再对t求一次偏导数,得,49,如果将波动方程对x求两次偏导数,得,由以上两式,可得,这就是平面波的微分方程,任何满足上式的物理量y(x,t)都是以速度v沿x方向传播的平面波,50,三.波动方程的物理意义,（1）当坐标 x 确定 表达式变成yt 关系 表达了 x 点的振动如图：,51,（2）当时刻 t 确定表达式变成y-x关系 表达了 t 时刻空间各点位移分布波形图,52,（3）当t和x都在变化波动方程表示出波线上所有质点在各个时刻的位移情况,53,u,T,w,时 间,空 间,l,

12、k,54,一维简谐波表达式的物理意义,y(x,t)cos(t-kx),1.固定 x,(x=x0),2.固定 t,(t=t0),3.表达式反映了波的时间、空间双重周期性。,T 时间周期性,空间周期性,55,例：已知一平面波的波动方程为,其中x、y的单位为米（m),t的单位为秒，求,（1）波的振幅、波长、频率及波速；（2）写出波源x=0处的振动方程,解：将波动方程改写成,56,与波动方程的标准形式,比较，得：振幅 A=0.03(m)频率 v=2(Hz)波长=0.12(m)波速 u=v=0.24(m.s-1),波源x=0处的振动方程为,57,例：已知简谐波的周期T=0.5s,波长=1m，振幅A=0.

13、1m（1）试写出波动方程；（2）求距波源为/2处的质点的振动方程（3）求距波源x1=0.40m和 x2=0.60m处两质点的相位差,解（1）将T=0.5s,=1m,A=0.1m代入波动方程,58,可得该简谐波的波动方程,（2）已知x=/2,所以距波源/2处质点的振动方程为,（3）则,把x1=0.40m和 x2=0.60m代入上两式并相减，得,59,四、机械波的能量 能量密度1.机械波的能量每个质元振动所具有的动能每个质元形变所具有的势能,之和,2.能量密度 单位体积的介质中的能量,60,波的能量,x 处单位体积的动能：,61,x 处单位体积的势能：,因为,与动能表达式相同!,62,波的能量密度

14、（单位体积的机械能）为,一个周期内的平均能量密度为,此表达式适用于所有机械波。,能流密度（单位时间内通过单位面积的能量）为,63,4 波的衍射和干涉,64,1678年惠更斯提出了简洁的作图法定性解决了波的传播问题 称惠更斯原理 在研究波的传播问题中 波动方程和惠更斯原理 同等重要 相互补充,一、惠更斯原理1.物理上的定性和半定量方法,65,2、惠更斯原理基本内容：,子波概念 波面上任一点都是新的振源 各点发出的波叫子波子波面的包络线-新波面 t 时刻各子波波面的公共切面（包络面）就是该时刻的新波面作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面,66,t+t时刻波面,t 时刻波面,在各向同性介质中传播,

15、例：,67,二、惠更斯原理的应用1.原理给出：一切波动都具有衍射现象,水波通过窄缝时的衍射,68,69,二 波的衍射,入射波平面波,入射波平面波,衍射物,衍射物,平面波经小孔衍射成球面波,衍射-偏离原来直线传播的方向(衍射是波动的判据),70,衍射是否明显？视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较对一定波长的波 线度小衍射现象明显 线度大衍射现象不明显,71,三、波的叠加原理,几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,72,频

16、率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,四、波的干涉,73,74,波的相干条件,75,点P 的两个分振动,常量,76,1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,振动始终加强,振动始终减弱,2)强度分布,77,波程差,若 则,振动始终减弱,振动始终加强,其他,3)波程差,78,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解

17、：,设 A 的相位较 B 超前，则.,点P 合振幅,79,例 在同一介质中的两个波源位于A、B两点，它们的振动频率都为100Hz,两者振幅相等，振动方向相同，且A点为波峰时，B点为波谷(即两者初相差为)A和B两点相距30米,波在介质中传播的速度为400米秒,求AB连线上因干涉而静止的各点的位置.,解:选A为坐标原点,水平向右为轴正方向,水平向右为轴的正方向.设A和B之间任意点C的距离为,距波源B则为30-x.根据题意,A和B所发出的波为相干波,其在C点的相位差为,80,因干涉而静止的条件为,即,又因为,所以,81,因此在A和B外的任意点都加强,没有相干涉而静止的点,(2)如果C为A和B外的任意

18、一点,则,因为是A和B间的干涉情况,所以只能取,82,5 多普勒效应,问:人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？,只有波源与观察者相对静止时才相等.,83,多普勒效应 由于波源、探测器的相对运动而引起探测的频率与波源发射的频率不等的现象,三种频率：振源振动的频率介质中某点振动的频率探测器探测的频率,84,一、波源不动，观察者相对介质以速度 运动,观察者接收的频率,观察者向波源运动,观察者远离波源,85,二、观察者不动，波源相对介质以速度 运动,86,波源向观察者运动,观察者接收的频率,波源远离观察者,87,三、波源与观察者同时相对介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动,88,解：（1）,8

19、9,1）,90,例2 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为 的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为 已知空气中的声速，求车速.,解 1）车为接收器,2）车为波源,车速,91,例:当一列火车以 96km/h的速度由你身旁开过,用2千赫兹的频率鸣笛时,问你听到的频率是多少?(空气中的声速为340m/s),(1)当火车接近时,(2)当火车离开时,u取负值,92,本 章 小 结,一、基本概念1、简谐振动定义、振动曲线2、振幅、圆频率、初相位3、平面简谐波4、波的干涉和衍射二、基本内容和规律1、简谐振动的特征：动力学特征、运动学特征2、简谐振动的判断 3、简谐振动的描述：（1）解析法（2）旋转矢量法（3）振动曲线4、简谐振动的能量5、简谐振动的合成规律,93,6、波动方程7、波的能量和能量密度8、波的干涉和衍射9、多普勒效应,94,第八章完,