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1、1,大 学 物 理,2,第四章 角动量守恒定律,4-1 力矩4-2 质点角动量守恒定律,3,补充：矢量,1、矢量的加法和减法平行四边形法则、三角形法则2、矢量的数乘,3、矢量的标积（点积）,4、矢量的矢积（叉积）,4,5、矢量函数的导数（只介绍一元函数）,5,6、矢量函数的积分,6,4-1 力矩,一、引入,外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。力通过转轴：转动状态不改变力离转轴远：容易改变力离转轴近：不易改变,二、力对点的力矩,7,力矩M与质点的位置矢量r有关，也就是与参考点O的选取有关。为了表示力矩M是相对于参考点O的，所以一般在画图时总是把 力矩M画在参考点O上，而不是
2、画在质点P上。,如果：,则：,即：合力对某参考点O的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。,8,三、力对转轴的力矩,在以参考点O为原点的直角坐标系中，将力矩矢量M表示为：,力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。,若,9,即,如果我们要求出Mz,应先将矢量r和F投影到xy平面上，再分解到x 和y轴上，然后利用上式计算。,10,4-2 质点角动量守恒守律,一.质点的角动量,l=rmvsin=md,角动量的大小,11,若质点以角速度沿半径r的圆周运动(如图),质点对给定点o(圆心)的角动量的大小,按SI制,角动量的单位是千克米2/秒(kgm2/s)。角动量的大小和方向不仅决定于质点
3、的运动,也依赖于所选定的参考点,即参考点不同,质点的角动量也不同。,l=Pr=mr=m r2,12,二、质点的角动量定理,设质点的质量为m，在合力F 的作用下，运动方程,考虑到,得,所以,质点的角动量定理：作用于质点的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率。成立条件：惯性系,13,这样,上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是:合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。,将上式两边同乘以dt再积分得,14,若把方程,投影到OZ轴上，则可得到,这表示，质点对某轴的角动量随时间的变化率，等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。这称为质点对轴的角
4、动量定理。,15,这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。,三、质点角动量守恒守律,16,有三种情况,1.r=0，质点处于参考点上静止不动；2.F=0，所讨论的是孤立质点；3.r0,F0,但rF=0，即r和F总是平行的，如万有引力和静电力这样的有心力。,若M0,但Mz0，则lz=恒量,这表示，当作用于质点的合外力对Oz轴的力矩为零时，质点对该轴的角动量保持不变。这叫做质点对轴的角动量守恒定律。,17,解,=0,18,解 绳的拉力对o点的力矩为零,故小球在运动中对o点的角动量守恒,于是有 mr2 0=m(r/2)2=40 由动
5、能定理，拉力的功为,例题4-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这一过程中拉力的功。,19,解得:=4m/s,=300。,解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量和机械能都守恒：,m0l0=m lsin,20,m0R=m 3Rsin,解 火箭运动过程中只受引力(保守力)作用,机械能守恒、对o点的角动量守恒：,21,当系统所受的合外力力矩为零时,系统的总角动量的矢量和就保持不变。对比：系统角动量守恒是：,系统动
6、量守恒是：,在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。,定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物体组成的系统。系统的角动量守恒定律描述如下：,22,23,角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪(也叫“陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。,以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。,24,第四章习题,1，4，7，8，9,
