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1、学案1 直线与直线的方程,考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,考 向 预 测,从近两年的高考试题来看，求直线方程是高考考查的重点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，无论是以何种题型出现，都与其他知识点交汇命题，难度属中、低档题，主要考查直线方程的求法，考查学生的运算能力.预测2012年高考还会以求直线方程为主要考查点，考查直线方程的求法及学生的运算能力.,返回目录,1.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角,叫作.规定：直线与x轴平行或重合时=0.故倾斜角的范围是.
2、,直线的倾斜角,0180,（）斜率：当90时，tan表示直线的，常用k表示，即k=tan;当=90时，斜率k.当直线l过（x1,y1）,P2(x2,y2)(x2x1)时，l的斜率k.直线方程的三种形式（）点斜式:表示过（x0,y0）点且斜率为k的直线.特例：y=kx+b表示过（0，b）点且斜率为k的直线，该方程叫直线方程的，其中b表示直线在y轴上的截距.,返回目录,斜率,不存在,y-y0=k(x-x0),斜截式,（）两点式:表示过（x1,y1）,P2(x2,y2)两点的直线.特例：,其中a,b分别表示直线在x轴，y轴上的截距，该方程叫作直线方程的.（）一般式：.3.两直线平行（1）对于直线l1
3、:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1b2).l1l2.（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1l2.,返回目录,截距式,x+By+=0(，不同时为0),k1=k2,A1B2-A2B1=0A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10),4.两直线垂直（1）对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1l2.（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1l2.,返回目录,k1k2=-1,A1A2+B1B2=0,2010年高考辽宁卷已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是
4、()A.0,)B.,C.(,D.,),返回目录,考点1 直线的倾斜角与斜率,【解析】y=,y=.令ex+1=t，则ex=t-1且t1,y=再令=m,则0m1,y=4m2-4m=4(m-)2-1,m(0,1).容易求得-1y0,-1tan0，得.故应选D.,返回目录,【分析】由导数求出y的范围，由于k=y，故k的范围可求，从而可转化为的范围.,（1）直线的倾斜角与斜率的关系 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.,返回目录,返回目录,（2）已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,)的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为(,)的子集，且k=tan为增函
5、数.若k的范围有正有负，则可把范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围.,返回目录,若a,),则直线2xcos+3y+1=0的倾斜角的取值范围是（）,)B.,)C.0,),D.,),返回目录,【解析】设直线的倾斜角为，则tan=-cos.又,),0cos,-cos0.即-tan0,注意到0,.故应选B.,返回目录,ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3)，求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的垂直平分线DE的方程.,【分析】结合所给条件，选择恰当的直线方程并求解.,考点2 直线方程的求法,
6、返回目录,【解析】（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x+2y-4=0.(2)设BC中点D的坐标(x,y)，则x=0，y=2.BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2）两点，由截距式得AD所在直线方程为=1，即2x-3y+6=0.(3)BC的斜率k1=-，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.,1.用待定系数法求直线方程的步骤：（1）设所求直线方程的某种形式.（2）由条件建立所求参数的方程（组）.（3）解这个方程（组）求参数.（4）把所求的参数值代入所设直线方程.2.求直线方程时，首先分析具备什么样的条件
7、；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程.要注意若不能判定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论.,返回目录,返回目录,求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-;,返回目录,【解析】(1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),l的方程为y=x,即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为,l过点(3,2),a=5,l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5
8、=0.,返回目录,解法二:由题意,所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-;令x=0,得y=2-3k.由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,直线l的方程为:y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.,(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此，所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.,返回目录,返回目录,已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.（1）l1l2，且l1过点(-3,-1);（2）l1l2
9、，且坐标原点到这两条直线的距离相等.,【分析】可利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a,b的值，另外直线方程中含有字母参数，应分类讨论.,考点3 两条直线的平行与垂直,返回目录,【解析】（1）由已知可得l2的斜率必存在，k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b=0.又l1过(-3,-1),-3a+4=0,即4=3a（不合题意）.此种情况不存在，即k20.若k20,即k1,k2都存在，k1=1-a,k2=,l1l2，k1k2=-1,即(1-a)=-1.又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.由联立，解得a=2,b=2.,返回目录,
10、（2）l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在.k1=k2.即=1-a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2,l1,l2在y轴上的截距互为相反数.即=b.a=2 a=,b=-2 b=2.a,b的值为2和-2,或 和2.,由联立,解得,或,返回目录,当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）,若用l1l2 A1A2+B1B2=0可不用分类讨论.,返回目录,已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0.（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1l2时，求a的值.,（1）解法一：当a=1时，l1：
11、x+2y+6=0，l2：x=0，l1不平行于l2；当a=0时，l1：y=-3，l2：x-y-1=0，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），=-3-(a+1),综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.,返回目录,l1l2,解得a=-1.,解法二：由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0,由A1C2-A2C10,得a（a2-1）-160,a(a-1)-12=0 a(a2-1)-160 a2-a-2=0 a(a2-1)6 故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.,返回目录,l1l2,a=-1.,（2）解法一：当a=
12、1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a1时，l1：y=-x-3，l2：y=x-（a+1），由(-)=-1 a=.解法二：由A1A2+B1B2=0，得a+2（a-1）=0 a=.,返回目录,返回目录,考点4 与截距有关的直线方程的应用,已知直线l过点P（3，2），且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,【分析】先建立AB所在直线方程，再求出A,B两点的坐标，表示出ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值.,【解析】解法一：设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为l过点P（3，
13、2），,b=,从而SABO=ab=a=,故有SABO,返回目录,当且仅当a-3=,即a=6时，(SABO)min=12,此时b=4,直线l的方程为=1,即2x+3y-12=0.,返回目录,解法二：设直线方程为=1,代入P(3,2)得,得ab24,从而SAOB=ab12,此时,k=-=-.方程为2x+3y-12=0.,返回目录,返回目录,（1）“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与x轴的交点的横坐标，纵截距是指直线与y轴交点的纵坐标.截距可以为任意实数，而距离是大于或等于零的实数.（2）题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值”等条件时，一定要考查截距为零的情形
14、.截距要加绝对值符号后才能成为线段的长度.,过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A，B两点.（1）当AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程；,返回目录,（1）解：设直线l的方程为(a0,b0),则|OA|=a,|OB|=b,SAOB=ab,又点P在直线l上，+=1.a0,b0,+2,即2 1,ab8.即SAOB最小值为4，当且仅当，即a=4,b=2时取“=”，此时，直线方程为x+2y-4=0.,返回目录,（2）解：设l的方程为(a0,b0),则由P在l上得,|OA|+|OB|=a+b,a+b=(a+b)()=3+3+2,当且仅当 即a
15、=b时“=”成立，直线方程为x+y-(2+)=0.,返回目录,返回目录,1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x1x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2.求斜率可用k=tan(90),其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.,3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1l2k1=k2;l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.4.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.5.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
