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1、进 入,学案2 导数的应用,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.函数的单调性（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果 0,则f(x)为；如果 0，则 f(x)为.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法:确定函数f(x)的定义区间;求，令，解此方程，求出它在定义 区间内的一切实根;,增函数,减函数,把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;确定f(x)在各小开区间内的符号，根据 判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值(1)极值的概念一般地，设函数f
2、(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的一个，称x0为.,极大(小)值,极大（小）值点,返回目录,（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:求导数；求方程=0的根；检查 在方程=0的根的左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得.,极大值,极小值,返回目录,.函数的最大值与最小值（）设y=f(x)是定义在区间a,b上的函数，y=f(x)在（a,b）内有导数，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行:求f(x)
3、在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.（）若函数f(x)在a,b上单调递增，则 f(a)为函数的，f(b)为函数的；若函数 f(a)在a,b上单调递减，则f(a)为函数的，f(b)为函数的.,f(a),f(b),最小值,最大值,最大值,最小值,返回目录,考点一 函数的单调性与导数,【例1】已知aR,求函数f(x)=x2eax的单调区间.,【分析】求f(x)的导数，令f(x)0即可求增区间；令0,求 减区间，但解题过程中要注意讨论参数a的范围.,返回目录,【解析】函数f(x)的导数:=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax(1)当
4、a=0时,若x0,则f(x)0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.(2)当a0时,由2x+ax20,解得x0;由2x+ax20时,函数f(x)在区间（-,-）内为增函数,在区间（-,0）内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.,返回目录,(3)当a0,解得0-.所以当a0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间（0,-）内为增函数,在区间（-,+）内为减函数.,【评析】本题通过求单调区间考查导数的性质，通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的数学思想.,返回目录,对应演练,设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2
5、-2x+1，其中实数a0.（1）若a0，求函数f（x）的单调区间；（2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（3）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围.,返回目录,（1）=3x2+2ax-a2=3（x-）(x+a),又a0,当x-a或x 时，0;当-ax 时，0,f(x)在（-,-a）和（，+）内是增函数，在（-a，）内是减函数.,返回目录,（2）由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1.即xx2-(a2-2)=0恰有一根（含重根）.a2-20,即.又a0,a)(.
6、g(x)=a（x-）2+1-,h(a)=1-,a(0,h(a)的值域为(-,1-.,返回目录,（3）当a0时，f（x）在（-,-a）和（，+）内是增函数，g（x）在（，+）内是增函数.a0 a a 当a0时，f（x）在（-,）和（-a，+）内是增函数，g（x）在（-,）内是增函数.a0 a+2,a+2 综上可知，实数a的取值范围为（-,-31,+).,由题意得,，解得a1.,由题意得,解得a-3.,返回目录,考点二 函数的极值与导数,【例2】已知 aR，讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.,【分析】先求 f(x)，再令f(x)=0，求出方程的解.通过列表判定f(x)的
7、符号来确定是否是极值点，是极大值点还是极小值点.,返回目录,【解析】f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.（1）当=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0,即a4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2，不妨设x1x2,于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表：,即此时f(x)有两个极值点.,返回目录,（2）当=0即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是f(x)=ex(x-
8、x1)2,故当x0；当xx1时，f(x)0，因此 f(x)无极值.（3）当0,f(x)=ex x2+(a+2)x+(2a+1)0,故f(x)为增函数，此时 f(x)无极值.因此当a4或a0时，f(x)有2个极值点，当0a4时，f(x)无极值点.,【评析】f(x)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件.要注意总结求极值的步骤和方法.,返回目录,对应演练,设函数f(x)=ln(x+a)+x2.（1）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于.,返回目录,(1)f(x)=,依题意，有f(-1)=0,故a=.则
9、f(x)的定义域为（,+）.当 0;当-1 时，f(x)0.从而f(x)分别在区间（,-1）,（,+）上单调递增，在区间（-1,）上单调递减.,返回目录,(2)f(x)的定义域为（-a,+）,方程2x2+2ax+1=0的判别式=4a2-8.若0,故f(x)无极值.若=0,则a=或-.若a=,x(-,+),当x=时，f(x)=0;当x（-,-）（-,+）时，f(x)0，所以f(x)无极值.若a=-,x(,+),f(x)=0,f(x)也无极值.若0,即a 或a-,返回目录,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根 当a 时，x1-a,x2-a,f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值判
10、别方法知f(x)在x=x1,x=x2处取得极值.综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(,+).所以f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+ln(x2+a)+=ln+a2-11-ln2=ln.,返回目录,考点三 函数的最值与导数,【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100 km处开始骑自行车以每小时20 km的速度向正西方向前进.与此同时，乙以每小时10 km的速度向其正北方向跑步前进.问经过多少时间甲、乙相距最近？,【分析】引入变量，建立目标函数，用导数法求最值.,返回目录,【解析】设经过x小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位置A，乙到达位置B.故问题转化为在
11、x0时，求f(x)的最小值点.令f(x)=0得x=4.在区间(0,4)内,f(x)0，函数f(x)单调递增.故x=4为其极小值点，也是最小值点.所以当x=4（小时）时，甲、乙两人相距最近为20 km.,返回目录,【评析】（1）注意到f(x)0，因而只要求出f(x)2的最小值点即可.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.,返回目录,对应演练,某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离
12、为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,返回目录,（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即，所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+）x=256（）+（2+）x=+m+2m-256.,返回目录,（2）由（1）知，f(x)令f(x)=0,得=512，所以x=64.当0 x64时，f（x）0，f（x）在区间（0，64）内为减函数；当64x640时，f(x)0,f(x)在区间（64，640）内为增函数，所以
13、f（x）在x=64处取得最小值，此时n=-1=-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.,返回目录,1.利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面:(1)是 递增的充分条件而非必要条件(也是如此);(2)求单调区间时,首先要确定定义域,然后根据(或)解出定义域内相应的x的范围;(3)在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次要运用求导的方法来证明.(4)在求函数的单调区间时,几个单调增(减)区间一般不要取并集,还要分开写,用“和”或“,”连接,但不能用“或”,要注意与的区别.,返回目录,2.求函数的极值可分以下几条：（1）求出可能的点，即f(x)=0的解x0与不可导点；（2）用确定极值的方法确定极值；（3）在a,b上的最值的求法：将(a,b)内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当f(x)在(a,b)内有一个可能的点时，若在这一点处的f(x)有极大（小）值，则可以确定f(x)在该点处取到最大（小）值.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
