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1、进 入,学案4 直线与圆锥曲线的位置关系,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.,相交、相切、相离,解的个数,Ax+By+C=0 f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是.当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线.当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴.（2）若a0，设=b2-4ac.0时，直线与圆锥曲线相交于；=0时，直线与
2、圆锥曲线；0时，直线与圆锥曲线.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系,由,消元（x或y）,椭圆,平行或重合,平行或重合,两个点,相切,相离,返回目录,2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为k，则弦长公式为|AB|=或|AB|=.,两点间的距离公式,返回目录,考点一 直线与曲线的交点个数问题,【例1】已知双曲线x2-y2=4，直线l:y=k(x-1)，讨论直线
3、l与双曲线公共点个数.,【分析】将直线l的方程与双曲线方程联立消元后转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用“”求解.,返回目录,返回目录,（3）当1-k20，由=4(4-3k2)=0得k=时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.（4）当1-k20，由=4(4-3k2)时，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=1或k=时，直线与双曲线有一个公共点；当-时，直线与双曲线无公共点.,【评析】研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0两种情况.,返回目录,返回目录,(1)由已知，得直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程，得+(kx+)2=1
4、,整理，得(+k2)x2+2 kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4(+k2)=4k2-20,解得k.即k的取值范围为(-,-)(,+).,返回目录,返回目录,考点二 弦长问题,【例2】已知双曲线C1:=1,抛物线C2的顶点是坐标原点O，焦点是双曲线C1的左焦点F.（1）求抛物线C2的方程；（2）过F作直线（不垂直x轴）交抛物线C2于P，Q两点，使POQ的面积为6（O为原点），这样的直线是否存在？若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.,【分析】（1）求出点F从而确定P，求出C2的方程.（2）利用弦长公式求|PQ|的长度，从而计算SPOQ.,返回目录,【解析
5、】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故c=|a|，依题意，抛物线C2的方程为y2=-4|a|x.（2）设存在满足题意的直线PQ，其方程为y=k(x+|a|)(k0),即x=-|a|(k0),又设点P，Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把x=-|a|代入抛物线C2的方程，化简并整理得ky2+4|a|y-12ka2=0,于是y1+y2=,y1y2=-12a2,(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=+48a2=,返回目录,返回目录,【评析】该题已知条件中没有说明a的取值范围，这一点正是我们容易疏忽的，双曲线C1的半焦距c=|a|，在实半轴长、虚半轴长和离心率这些量中
6、都要注意a的取值.在弦长公式中，要注意两种形式的特点.,返回目录,对应演练,如图所示,在平面直角坐标系xy中，过定点（，p）作直线与抛物线xpy（p）相交于，两点.（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；,（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.,返回目录,返回目录,（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，的中点为，l与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为.|O|2ay1p|，|PH|O|（2ay1p）(a)ya（pa），|（|）令a 0，得a，此时|p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y
7、，即抛物线的通径所在的直线.,返回目录,解法二：（）前同解法一，再由弦长公式得|x1x|p.又由点到直线的距离公式，得点到直线的距离为d，从而，|d p p，当k时，（）max p.,返回目录,返回目录,|x x|令a，得a，此时|p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y.,返回目录,考点三 中点弦问题,【例3】已知双曲线方程2x2-y2=2.（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且线段Q NQ2的中点为(1,1)?如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.,【分析】对于“弦中点”问题，往往用“点差法”
8、来寻求斜率与中点坐标的关系.,返回目录,【解析】（1）设A(2,1)是弦P1P2的中点，且P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，则x1+x2=4,y1+y2=2,P1,P2在双曲线上，2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,24(x1-x2)=2(y1-y2)，所求弦P1P2所在直线的方程为4x-y-7=0.将直线方程代入双曲线方程，整理成以x为变量的方程，经验证0.,返回目录,【评析】“点差法”使用的前提是以该点为中点的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直线方程必须验证是否与曲线相交，即要验证的符号.,返回目录,对应演练,如图所示，若椭圆=1上存在两点A，B，关于l:y=4x+m对称，求m的取值范围.,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,2.涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法（“平方差法）找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系.3.有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：两点连线与该直线垂直（斜率互为负倒数）；中点在此直线上（中点坐标适合对称轴方程）.4.解决平面几何问题，需将平面几何知识转化为代数式子表示.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
