《学案7随机变量的均值与方差、正态分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学案7随机变量的均值与方差、正态分布.ppt（30页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点.,1.离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列为：,则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量.（1）E（aX+b）=.（2）若X服从两点分布，则EX=.（3）若XB（n,p），则EX=.2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为：,取值的,平均水平,aEX+b,P,np,则（xi-EX）2描述了xi(i=1,2,n)相对于均值EX的偏离程度.而DX=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随
2、机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记作X.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度.（1）D（aX+b）=.（2）若X服从两点分布，则DX=.（3）若XB(n,p)，则DX=.,取值偏离于均值的平均程度,越小,a2DX,p(1-p),np(1-p),3.正态分布 函数,(x)=x(-,+)，其中实数和（0）为参数.我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.一般地,如果对于任何实数ab，随机变量X满足 P（aXb）=,(x)dx,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参
3、数和确定，因此正态分布常记作.如果随机变量X服从正态分布，则记为X.正态曲线有以下特点:,N(,2),N(,2),（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于 对称；（3）曲线在 处达到峰值;（4）曲线与x轴之间的面积为；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿 平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定.越，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.,大,直线x=,x=,x轴,1,小,考点1 求期望与方差,某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq)，且不同课程是否取
4、得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为,（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（2）求p,q的值；（3）求数学期望E().,【分析】第(1)问考查对立事件,第(2)问可通过列方程组求出,第(3)问由公式E()=x1P1+x2P2+xnPn求出期望.【解析】事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3.由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(=0)=1-=.(2)由题意知P(=0)=P(A1A2A3)=(1-p)(1-
5、q)=,P(=3)=P(A1A2A3)=pq=.整理得pq=,p+q=1.由pq，可得p=,q=.(3)由题意知a=P(=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=（1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.所以E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=.,【评析】求期望的关键是写出分布列.,甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为：计算,的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.,【解析】依题意，有E=100.5+90.2+80.1+70.1+60
6、.05+50.05+00=8.85（环）.E=100.1+90.1+80.1+70.1+60.2+50.2+00.2=5.6（环）.D=(10-8.85)20.5+(9-8.85)20.2+(8-8.85)20.1+(5-8.85)20.05+(0-8.85)20=2.227 5,D=(10-5.6)20.1+(9-5.6)20.1+(8-5.6)20.1+(5-5.6)20.2+(0-5.6)20.2=10.24,【分析】利用,的分布列，用期望、方差公式计算出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析.,所以EE，说明甲的平均水平比乙高，又因为DD，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙
7、射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好.,考点3 正态分布,某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：小时)为随机变量X,已知XN(1 000,302），要使灯管的平均寿命为1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上?,【分析】因为XN（1 000,302），即X服从正态分布，设灯管最低寿命为1 000-a(a0),由于灯管平均寿命为1 000，依题意，则应P(1 000-aX1 000+a)=99.7%，求得a，即可得出最低寿命1 000-a(小时).,【解析】因为灯管的使用寿命XN（1 000，302），为了查表方便，先化为标准正态分
8、布N(0,1);令Y=,即X=1 000+30Y,故YN(0,1).设灯管总体寿命最低为1 000-a,则依题意:P(1 000-aX1 000+a)=0.997.又X=1 000+30Y,所以P(1 000-aX1 000+a)=P(-Y)=P(Y)-1-P(Y)=2P(Y)-1,所以2P(Y)-1=0.997,所以P(Y)=0.998 5,即()=0.998 5，由查表知(2.97)=0.998 5,所以=2.97,所以a90，所以X在(910,1 090)内取值的概率为0.997.所以，灯管的总体最低寿命应控制在910小时以上.,【评析】记住正态分布的3原则是解题关键.,已知随机变量服从
9、正态分布N（2，2）,且P（4)=0.8,则P（02）=（）【答案】C【解析】因为=2，所以P（4）=1-P（4)=0.8,可知P（4）=P（0)=0.2,所以P（02）=P（04)=（1-20.2)=0.3.故应选C.,1.2011年高考天津卷学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).,1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性.2.在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在期望相等的情况下再求方差.3.对于正态分布关键是记住3原则.,1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性.2.在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在期望相等的情况下再求方差.3.对于正态分布关键是记住3原则.,祝同学们学习上天天有进步！,
