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1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第九章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设 为光滑的
2、有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义：,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y,z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用 表示 的反向曲面,则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数,则,证:,取上侧,若,
3、则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,例1.计算,其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把 分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,曲面积分是按侧进行,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,两类曲面积分可以相互转换,令,向量形式,例5.设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例6.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,参考下页注释,原式=,原式=,注：在上题中，如何得到,令,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,2.常用计算公式及方法,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.,例,设,则,取上侧时,取下侧时,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,例.设,第六节,注：,备用题 求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
