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1、第四节 幂函数、函数的图象,1.了解幂函数的概念.2.掌握函数：y=x,y=x2,y=x3,的图象特征，了解它们的变化情况.3.会用基本函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.4.会用数形结合的思想与化归转化的思想解决数学问题.,1.考纲对幂函数要求不高，只需了解幂函数的性质，掌握常见的几种幂函数图象即可.2.对基本函数的图象，考纲要求以图象为载体研究其单调性、奇偶性，能结合图象比较函数值的大小，利用图象解一些简单的方程、不等式.,3.从能力上，要求学生具备基本的作图、识图能力和图象的简单应用能力.4.从题型上看，主要以选择、填空的形式考查，一般为低中档难度题.综合应用
2、的题目有时难度会稍大一些.,函数图象的判断高考指数:1.(2012山东高考)函数y 的图象大致为(),【解析】选D.函数f(x)，f(-x)=-f(x)为奇函数，当x0，且x0时f(x)+；当x0，且x0时f(x)-；当x+，2x-2-x+，f(x)0;当x-,2x-2-x-，f(x)0.答案应选D.,2.(2012江西高考)如图|OA|=2(单位：m),|OB|=1(单位：m),OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧 与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位:m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧 行至点C后停止,乙以速率2(单
3、位：m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0)，则函数y=S(t)的图象大致是(),【解析】选A.因为|OB|=1，甲在OB段的速率为1,所以在OB段行至点B恰好为1 s,|OA|=2,乙在OA段的速率为2,所以在OA段行至点A恰好为1 s,所以在甲由O至B，乙由O至A这段时间，S(t)=(0t1)是增函数，而且S(t)增大得越来越快.由于乙至A后停止，所以在甲由B沿圆弧 运动过程中，面积S是在匀速增大，所以应为一段线段，而在甲到达C后面积S不再变化，应为一条平行于x轴的直线.,3.(2012湖北高考)已知定义在区
4、间0，2上的函数y=f(x)的图象如图所示，则y=-f(2-x)的图象为(),【解析】选B.由y=f(x)的图象向左平移两个单位得y=f(x+2);再把y=f(x+2)的图象关于原点对称得 y=-f(-x+2)的图象,可知答案.,4.(2011江西高考)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.,今使“凸轮”沿x轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形
5、按上、下放置，应大致为(),【解析】选A.“凸轮”的滚动如图所示.设PS=a，则PM=a,MN=a-aPM.所以M到x轴的距离先增大再减小再增大再减小最高点到x轴的距离一直为圆的半径，所以选A.,5.(2010重庆高考)函数f(x)=的图象()(A)关于原点对称(B)关于直线y=x对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称,【解析】选D.方法一：函数f(x)的定义域为R.=f(x)，函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.方法二：函数f(x)的定义域为R.有f(-x)=2-x+2x=f(x)，函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)=的图象关于y轴对称.,函数图象的应用高考指数:6.(2012安徽
6、高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+)，则a=_.【解题指南】作出函数f(x)=|2x+a|的图象，根据图象可得函数的单调递增区间为,+).,【解析】作出函数f(x)=|2x+a|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为,+),即=3,a=-6.答案：-6,7.(2012天津高考)已知函数y 的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_.【解题指南】化简函数y，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，数形结合求得k的范围.,【解析】作出函数与函数y=kx的图象恰有两个交点可得k的取值范围是(0，1)(1，2).答案：(0，1)(1，2),8.(201
7、2上海高考)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B(,1),C(1,0)，函数y=xf(x)(0 x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_.,【解析】由题意得函数所以函数所以函数y=xf(x)(0 x1)的图象与x轴围成的图形的面积为.答案：,函数图象的判断【典例1】(2011陕西高考)函数y=的图象是(),【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：函数关系式是y=，函数图象为过原点的曲线和直线(虚线，作为辅助线).图象关于原点对称，在定义域上是增函数.(2)信息分析：由已知函数关系式和图象，根据函数图象在0,1上的位置关系，可以用取点验证的方法判断,【规
8、范解答】选B.取x=,-,则y=,-,选项B、D符合，取x=1,则y=1,选项B符合题意.,【延伸探究】利用图象解不等式 x.【解析】作出y=和y=x的图象比较可知，不等式 x的解集为：(-，-1)(0,1).,【命题人揭秘】命题规律:纵观历年来高考试题，该高频考点呈现如下命题规律:(1)考查内容主要有：函数的定义域、值域，函数图象的形状，函数图象的画法，函数图象上点的位置、坐标的确定，函数单调性、奇偶性、最值等.(2)题型有：已知函数关系式，判断图象的形状;已知函数图象判断函数关系式;已知函数的变化情况，绘制函数图象或判断函数图象.(3)命题形式：以选择题的形式考查.难度为中档难度.,备考策
9、略：1.对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究，抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征，作为判断图象的依据.2.要掌握判断函数图象的一些基本方法，如：特殊点法(利用特殊点筛选淘汰)，导数法(借助导数判断单调性、凹凸性)，辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状况)，平移法，对称法等.,函数图象的应用【典例2】(2011新课标全国卷)已知函数y=f(x)的周期为2，当x-1,1时，f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()(A)10个(B)9个(C)8个(D)1个,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：函数y=f(x)的周期；当x-1
10、,1时f(x)的函数解析式；另一个函数为y=|lgx|.(2)信息分析：由已知函数解析式可以作出f(x)=x2在一个周期-1,1内的图象，然后利用周期性进行左右平移可得f(x)在其他区间上的图象，再利用图象变换的原则画出函数y=|lgx|的图象，由两者图象得交点个数.,【规范解答】选A.根据f(x)的性质及f(x)在-1,1上的解析式可作图如下可验证当x=10时，y=|lg10|=1；x10时，|lgx|1.因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.,【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)函数图象的对称性，周期性，奇偶性，
11、单调性.(2)函数图象的变换(平移、伸缩、对称、翻转).题型有：由函数图象求交点、交点个数，求解析式，求参数值，求最值等.图象变换(求变换前后函数关系式、变换方法、变换过程).利用图象性质解决综合性问题.考查形式一般为选择题、填空题.难度为中档或中档偏上.,备考策略：1.解决图象问题，关键是要学会观察分析图象的关键点、关键值和主要性质.总结由图象特征提取信息，分析信息的规律方法.并通过练习应用，验证、补充，使之不断完善.2.对图象的变换原则，要进行针对性训练，熟练掌握基本函数的常见的变换方法.图象是数形结合思想应用的主体，对“数”与“形”结合的关键点和转化技巧要加强训练，高度重视.,函数中的新
12、定义问题【典例3】(2011天津高考)对实数a和b,定义运算“”:ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-1),xR.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()(A)(-1,1(2,+)(B)(-2,-1(1,2(C)(-,-2)(1,2(D)-2,-1,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：新定义实数a、b满足运算“”.函数f(x)是满足新定义运算的关系式.函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点.(2)信息分析：根据新信息规定，可得出f(x)的解析式，f(x)解析式应该是分段函数.y=f(x)-c 的图象是由y=f(x)的图象上下平
13、移得到的,数形结合平移图象即可得出所需结论.,【解题流程】选B.,【阅卷人点拨】,幂函数的概念、图象、性质1.幂函数的定义形如y=x(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.,【考点突破区】,2.五种幂函数的图象,3.五种幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,x0,+),时,增,x(-,0,时，减,增,增,x(0,+)时,减,x(-,0)时,减,(1,1),增,【状元心得】1.幂函数的三个特征(1)指数为常数；(2)底数为自变量x;(3)x的系数为1.2.比较幂函数值的大小的常用方法(1)若幂的指数相同，
14、构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小；,(2)若幂的底数相同，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；(3)若幂的底数和指数均不相同，找一个中间量，使它与一个幂的底数相同，而与另一个幂的指数相同，分别将此中间量与它们比较.,【特别提醒】比较既有幂值，又有对数值的大小问题时，一般引入中间量，分组比较大小.,3.幂函数y=x图象特征(1)当0时，图象都过(0,0)点，(1，1)点.在第一象限内函数值随着x的增大而增大.在第一象限内，1时，图象向下凸；01时，图象向上凸.(2)当0时,图象都过(1，1)点.在第一象限内，函数值随着x的增大而减小，图象是向下凸的.,函数图象的画法1.描点法作图的
15、三个步骤通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象.,2.两种图象变换法作图(1)平移变换y=f(x)的图象向左平移a(a0)个单位得到函数_的图象.y=f(x-b)(b0)的图象可由y=f(x)的图象_得到.(2)对称变换(在f(-x)有意义的前提下)y=f(-x)与y=f(x)两个函数的图象_对称；y=-f(x)与y=f(x)两个函数的图象_对称；,y=f(x+a),向右平移b个单位,关于y轴,关于x轴,y=-f(-x)与y=f(x)两个函数的图象_对称；作y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分_，其余部分不变；作y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x0时的图
16、象，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出_的图象.,关于原点,翻折,到x轴上方,y=f(x)(x0),【状元心得】画函数图象的三种方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.,(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质找关键点.,忽略幂的运算性质的适用条件导致失误 在进行幂的运算时要注意隐含条件的挖掘与利用，当的幂指数中n为奇数，m为偶数时，x必须大于等于零，当 0时，x0,在化简变形时如果不细心就会导致运算错误.【示例】化简：(1-x)(x-1)-2,【易错易混区】,【错解】(1-x)(x-1)-2=(1-x)(x-1)-1【错因】题目中含有 在解答中很多同学不能深入理解题意，没有考虑到-x0这一隐含条件，导致出现了=(x-1)-1这一错误结果.,【自我校正】【解析】由 可知x0.(1-x)(x-1)-2=(1-x)(1-x)-1=.,
