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1、积分变换,第一章 付里叶变换,第二章 拉普拉斯变换,1.1 付氏积分,1.2 付氏变换,1.3 付氏变换的公式和性质,1.4 卷积与相关函数,2.1 拉普拉斯变换的概念,2.2 拉氏变换的基本公式和性质,2.3 拉氏逆变换,2.4 拉氏变换的应用,(一)付氏级数,称实系数R上的实值函数 f（t）在闭区间a,b,上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件：,在a,b上或者连续，或者只有有限个第一类间断点；,f（t）在a,b上只有有限个极值点。,1.1 付氏积分,第一章 付里叶变换,从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在
2、fT(t)的连续点处，级数的三角形成为,其中 称为频率，频率对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，n称为fT(t)的n次谐波频率。,(二)付氏级数的复指数形式,在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为,付氏积分定理 若f(t)在(-，+)上满足下列条件：,注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1，才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2条,才能保证 存在。,1.2 付氏变换,(二)积分变换的作用,(三)函数及其付氏变换,1.函数的定义,(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。,3.函数在积分变换中的作用,(1)有了函数，对于点源和
3、脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。(2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。(3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。,这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱,(四)付氏变换的物理意义频谱,1.非正弦的周期函数的频谱,(一)常用函数付里叶变换公式,1.3 付氏变换的公式和性质,(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式,(三)付氏变换的性质,
4、1线性性质。,2位移性质,该性质在无线电技术中也称为时移性质。,3对称性质,4相似性质,5象函数的位移性质,象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。,6.翻转性质,7.微分性质,若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时，则,推论 若（k=1,2,n）在 上连续或只有有限个可去间断点，且=0，k=0,1,2,(n-1),则有,8.象函数的微分性质,若，则,一般地，有,若当 时，=,则,如果，则,9.积分性质,其中,10.象函数的积分性质,若，则,11.乘积定理,若，则,其中，均为t的实函数，、分别为、的共轭函数。,12.能量积分,若，则,该等式又称为巴塞瓦等式。,13.卷积定理,设
5、，都满足付氏积分定理中的条件，且，则,1.4 卷积与相关函数,二、卷积的性质,第二章 拉普拉斯变换,2.1 拉普拉斯变换的概念,一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义,称 为 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为，即,又称 为 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记 即,二、拉氏变换的存在定理,拉氏变换存在定理 设函数f(t)满足下列条件：,关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明：(1)从物理应用观点来看，条件2、3都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如sint，若要对它进行拉氏
6、变换则应把它理解为sintu(t)。,(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。,(3)如果f(t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。,三、关于拉氏变换的积分下限问题,2.2 拉氏变换的基本公式和性质,一、常用函数的拉氏变换公式,当m为正整数时，有,注函数具有如下的递推公式,当m是正整数时，,(9)设 是0，+)上的周期为T的函数，即,则 的拉氏变换为,二、拉氏变换的性质,设 则有,(1)线性性质（设、为常数）,（2）位移性质（设a为常数）,（3）延迟性质,若t0时，则对任一非负实数 有,亦可写为,注 中的 意味着（当 时）,只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点容易被忽略，因而造成
7、错误，为了避免出现这种错误。故将延迟性质写为(2.2.16)式的形式。,(4)微分性质,特别地，当初值 时，有,(5)积分性质,推论,(6)象函数微分性质,一般地，有,(7)象函数积分性质,若积分 收敛，则,一般地，有,注由象函数的积分性质得即,(8)卷积定理,注付氏变换中的卷积定理包含两个公式，而拉氏变换中卷积定理只含一个公式。,(9)初值定理,若 存在，则,(10)终值定理,若 的所有奇点全在s平面的左半部，则,(11)相似性质（设a为正实数）,2.3 拉氏逆变换,定理2.3.1 若函数f(t)满足拉氏变换存在定理中的条件。,2.4 拉氏变换的应用,一、初值定理与终值定理,在前面已经讲到，利用初值定理和终值定理，可以求出 与，在这里是通过 求得的，而不是通过。,二、利用拉氏变换求定积分,
