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1、1,导 读为什么要介绍本章?分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。,第二章 控制系统的数学模型,2,预备知识,复变函数：Laplace变换（拉氏变换）,Z变换常微分方程解法：Laplace变换和反变换电路理论基本的电子学和力学知识,第二章 自动控制系统的数学模型,2.1 系统的微分方程：时域模型，微分方程的建立及线性化。2.1 拉普拉斯变换：将微分方程变换成代数方程，是经典控制理 论的基础。2.3 传递函数：借助拉氏变换，给出系统传递函数。经典控制理论中引用最广泛的一种模型。2.4 控制系统方框图：掌握方块图的建立及化简,6种典型环节2.5方框图的等效变换及化简,定义：数学模型是描述
2、系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。建立数学模型的目的 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,5,建立合理的数学模型,建立的数学模型既有准确性，又有简化性一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的 动态本质，又能简化分析计算的工作。除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统,被控对象的描述：微分方程,
3、被控对象,输出y(t),输入u(t),微分方程及其解法的理论是整个控制理论的基础。,2.1 系统的微分方程,2.1.1.建立系统或元件微分方程的步骤,确定元件输入量和输出量根据物理或化学定律，列出元件的原始方程在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式,机械系统微分方程,例1：弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-1所示。列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移
4、x(t)为输出量的运动方程式。,解：按照列写微分方程式的一般步骤有：,1）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量；,2）假设当无外力作用时，系统处于平衡状态；,3）由牛顿第二定律写原始方程：,4）写中间变量与输出变量的关系式：,5）将上式代入原始方程消中间变量得：,6）整理成标准型：,该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。,令,则方程化为：,机械旋转系统,例2：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移(t)为输出信号的数学模型。,解
5、：,1）确定输入量、输出量,2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：,3）化简,4)标准化,uc,ur,例3:RC电路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,输入量：,输出量：,(1)确定输入量和输出量,(2)建立初始微分方程组,(3)消除中间变量，使式子标准化,ur=Ri+uc,根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,电气系统的微分方程,例4：电阻-电感-电容串联系统，如图2-1所示。列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,解：按照列写微分方程式的一般步骤有：,1）确定输入量、输出量、中间变量
6、i（t）；,2）忽略输出端负载效应；,3）由基尔霍夫定律写原始方程：,4）列写中间变量与输出变量的关系式：,5）将上式代入原始方程消中间变量得：,表2-1 相似系统中的相似变量,定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式，就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量，叫做相似变量。,相似系统,拉氏变换法求解步骤：1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,求解方法：经典法、拉氏变换法。,拉普拉斯变换,拉氏(laplace)变换定义：设
7、函数f(t)当t=0时有定义，而且积分 存在，其中s是复数,则称F(s)是f(t)的象函数,即f(t)的拉氏变换。记为 f(t)称为 F(s)的原函数。,拉氏反变换为,函数f(t)的拉氏变换,当t0,f(t)=0,拉氏积分运算符,拉普拉斯变换说明,可以证明：f(t)和F(s)将形成一一映射,(1)s是复变量：在求取拉普拉斯变换时，s的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。,例如：,说明,当 时，有,(2)f(t)是实函数，且满足：,22,单位阶跃函数1(t)单位阶跃函数的拉氏变换为,23,单位脉冲函数单位脉冲函数的拉氏变换为,2)单位斜坡函数,t,0,t,几个重要的拉氏变换,26,拉氏变
8、换的基本性质(1)线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)微分性质 若，则有 f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。,(3)积分性质 若 则 式中 为积分 当t=0时的值。,27,(4)终值定理 即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。,(5)初值定理：(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其 象函数应乘以b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 乘以，即,28,例2.1：用拉氏变换解微分方程,29,重点建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等建立的微分方程的标准形式特
9、点：方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。,重要提示,我们这个课程会使用很多的数学工具，但是我们不是一门数学课程，学习过程中要特别注意工程的意义！,复域模型 传递函数,2.3.1.传递函数的定义与性质,定义：线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。问题的提出 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响,所谓零初始条件是指1）输入量在t0时才作用在系统上，即在 时系统输入及各项导数均为零；2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 时系统输出及其所有导数项为零。,33,设r(t)和c(t)及
10、其各阶导数在t=0时的值为0，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得s的代数方程为：由定义得系统得传递函数为,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，ai(i=1，2，3n)和 bj(j=1,2,3.m)是与系统结构和参数有关的常系数,分母中s的最高阶次n即为系统的阶次，该系统称为n阶系统。,试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).,例2.5 如图RLC电路，,解:零初始条件下取拉氏变换：,传递函数：,35,性质 传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；传递函数与微分
11、方程有相通性，可经简单置换而转换；传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性.）只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状态的特征。只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数。传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。,36,传递函数的物理意义显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为 系统的输出为 由于单位脉冲输入信号
12、的拉氏变换为 所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为,37,单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t),则 可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。,38,2.3.2.典型环节的传递函数,比例环节:输出量无滞后，按比例复现输入量,电位器,39,惯性环节 该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为系统的输入变化，(b)为系统的输出响应。输出按单调指数规律上升.,40
13、,积分环节 输出量与输入量对时间的积分成正比,微分环节输出量与输入量的导数成正比,积分放大器原理,41,例2.6：如图所示卫星姿态控制系统,对偏航角的控制,其中A、B为斜对称配置的喷气发动机，推力均为F/2，成对工作。每个发动机到质心的距离为l，那么产生的力矩为T=Fl，假设卫星的转动惯量为J，角位移(t)为输出量，产生的力矩T为输入量，那么根据牛顿第二定律，注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦，所以有,其中TJ/l,这是由两个积分环节组成的。,42,振荡环节（二阶环节）该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性,43,：无阻尼自然振荡频率：阻尼比,延滞环节延滞
14、时间（死区时间）输出量相对于输入量滞后一个恒定时间,45,关于典型环节的几点说明,一个不可分割的装置或元件可能含有若干典型环节 例如：无源网络同一元部件，若选择不同的输入量和输出量，将由不同的典型环节组成,C,R,ur（t）,uc（t）,46,有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式,D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。,2.3.3.传递函数的表示方式,47,零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 nm（2.66）,式中，称为系统的零点；为系统的极点；为系统的根轨迹增益。系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“”表示极点位置，用“”表示零点,
