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1、1,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：首先明确什么是输入输出量，将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,复习,1、建立系统的微分方程,2,2、线性微分方程的求解,拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：,（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。,（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。,（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。,3,2-3 控制系统的复数域数学模型 传递函数,2.
2、3.1 传递函数的定义和主要性质,传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。,微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。能否不解方程进行系统分析？,4,传递函数的定义,定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,5,例：弹簧阻尼系统,假设初始条件为零,传递函数-零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,6,例.RLC 网络,假设初始条件为零,7,弹簧阻尼系统,RLC网络,相似系统 相似变量,8,即零初始条件，令
3、C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t),M(s)=0 零点,N(s)=0 极点,9,传递函数可以表示成零极点的形式,也可以表示成时间常数的形式,10,性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）,性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关,但可由输入输出描述。,性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。,11,性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。,性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入
4、，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)就可获得该系统动态特性的完整描述，与其它物理系统描述不同。,12,性质6 传递函数与微分方程之间有关系。,如果将 置换,13,关于传递函数的几点说明,传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响(线性系统与初
5、始条件无关)。,14,复数阻抗,15,例 2-1-2 RLC 网络,复阻抗的串并联等同于电阻的串并联,16,例.求图中所示的 RC 网络的传递函数,解：,17,例.求比例微分控制器的传递函数,18,例.求比例微分控制器的传递函数,19,例.求比例微分控制器的传递函数,20,例.求比例微分控制器的传递函数,21,传递函数的零点和极点对输出的影响,22,传递函数的极点 稳定性,齐次微分方程的通解为它们的线性组合，即,重根，模态具有形如 的函数。,有共轭复根 时，,共轭复模态：,写成实函数的形式：,23,极点和零点分布图,24,传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”,从工程的角度看，决不能
6、认为系统的动态性质唯一地或者主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。,2.3.2 典型环节及其传递函数,1、比例环节（又叫放大环节）特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。运动方程:c(t)=Kr(t)K放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：,比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,例：输入：n1(t)-转速 Z1-主动轮的齿数 输出：n2(t)-转速 Z2-从动轮的齿数,运动方程：传递函数：,2、微分环节,特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。运动方程：传递函数：,实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的
7、，一般都是微分环节加惯性环节,28,2、微分环节,29,2、微分环节,实际例子,RC 串联电路,Ts1,G(s)=Ts,30,2、微分环节,实际的比例微分电路,3、积分环节,特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：传递函数：,4、惯性环节(又叫惰性环节),特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：传递函数：,33,4、惯性环节,34,4、惯性环节,35,4、惯性环节,5、振荡环节,特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：传递函数：,37,5、振荡环节,
8、无阻尼自然振荡频率,阻尼自然振荡频率,阻尼系数 阻尼比,38,5、振荡环节,39,5、振荡环节,40,5、振荡环节,41,5、振荡环节,42,5、振荡环节,43,6、纯滞后环节,输出信号比输入信号滞后一段时间,有纯延迟的单容水槽,7、其他环节：还有一些环节 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。,小结,（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。,
