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1、第四节 误差分析和解的精度改进,一、解的误差分析基本问题解的稳定性,三、数值稳定性及解的精度改进,一、解的误差分析基本问题解的稳定性,数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。,数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。,证闭,这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界,在正交变换下，误差不增长,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主
2、元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。,列主元法求解x1=x2=1,按行比例消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。,（2）（行）比例增减改善,例4 应用按比例消元法求解 方程组,算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b,迭代改善的计算格式：,|,|,|,|,病态严重：1:正交分解2:A的奇异值分解。,轻度病态：1:双精度改善2:比例增减改善3:迭代改善。,2.解的精度改进,证明：,病态的程度。,接近奇异,的大小可作为度量矩阵,最小的奇异值,分解,的,n,n,T,T,n,A,A,A,A,A,cond,di
3、ag,V,U,A,SVD,A,s,s,s,l,l,s,s,s,1,min,max,2,2,1,),(,),(,),(,),.,(,),1,(,=,=,=,S,S,=,奇异值分解的应用,要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。,培养“数觉”：当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。设计计算需要充分理解运算的意义，解释结果需要会判断机器输出的某个结果正确与否，如果有错，错误是来自数据输入、运算的选择或是机器的运行。,二版习题 P116-24,26,28,三版习题 P138-14,16,18,
