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1、作业习题讲解,郭建伟,第一部分,数字信号处理（第二版）吴镇扬第一章第三章,习题1.2,判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周期长度（1）（2）,解答习题1.2,解：(1)由可得故为x(n)周期序列，且最小周期为14（）由可得那么它们的最小公倍数为56故为x(n)周期序列，且最小周期为56,习题1.11,下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确定系统是否是线性系统？是否是时不变系统？（1）（2）,习题1.11（1）,（1）由 可得故所以y(n)为非线性又所以y(n)为时不变,习题1.11（2）,（2）由 可得所以y(n)为非线性又故y(n)为时不变,习题1.14,确定下列系统的因
2、果性与稳定性（3）（4）,（3）当 时，该系统是因果的，当 时，该系统是非因果的，又当x(n)有界，则y(n)也有界故该系统是稳定系统。（4）因为 时，h(n)=0,所以h(n)是因果系统又所以h(n)是稳定的,习题1.17,分别用直接卷积和z变换求（3）,习题1.17（直接法）,由已知可得：当 时，当 时，当 时，,。,Z变换法（留数法）由已知可得而所以当 时，C内两个极点：a，1,；,。,C内极点：a，1，,当 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点，不好求。采用留数辅助定理，C外无极点，因此，,。,当 时，C内极点：a，1，还有z=0多阶极点，不好求。考虑有,习题1.20,讨论一个具有
3、下列系统函数的线性时不变性因果系统（1）对于什么样的a值范围系统是稳定的？（2）如果，画出零极点图，并标出收敛区域。（3）在Z平面上用图解证明该系统是一个全通系统，亦即频率响应的幅度为一常数。,习题1.20,（1）由已知可得所以其极点为z=a,故为使系统稳定，应使|a|1;（2）当0a1时，极点 z=a，零点z=由 可得收敛域为 所以可画出零极点图和收敛域。（3）,|H(ejw)|=|AB|/|AC|=1/a 即全通,习题.,习题3.4,设求、周期卷积序列，以及。,习题3.4,由周期卷积公式,习题3.6,计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。（2）（3）,习题3.6,（2）,(3)
4、,习题3.9,有限长为N10的两序列作图表示、及,习题3.9,根据已知条件，可得到如下所示的x(n)和y(n)因为：而所以f(0)=1同理：f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3,f(6)=1,f(7)=-1,f(8)=-3,f(9)=-5,f(10)=-4,f(11)=-3,f(12)=-2,f(13)=-1,f(14)=0,f(15)=0,f(16)=0,f(17)=0,f(18)=0,习题3.10,已知两有限长序列用直接卷积的DFT变换两种方法求解下列f(n)（1）（2）（3）,（1）直接法：,Z变换法,（2）,Z变换法,（3）,习题3.18,研究两个有限工
5、序列x(n)和y(n)，此二序列当n0时皆为0，并且各作其20点DFT，然后将两个DFT相乘，再计算乘积序列的IDFT得r(n)，试指出r(n)的哪些点对应于x(n)和y(n)作线性卷积应得到的点。,习题3.18,解：令r(n)表示x(n)和y(n)循环卷积值，故其周期序列长度L为20，而x(n)和y(n)做线性卷积，卷积周期为N20+8-127；即20=LN=27，所以产生了混叠现象，混叠个数为27-207个，又因为混叠是发生在非零序列上，所以混叠发生在序列的前7个点上，故循环卷积值r(n)的719对应于线性卷积的值（无混叠）,习题3.19,设有两个序列：1,2,3,4,5,0,0和1,1,
6、1,1,0,0,0，试求：（1）它们的周期卷积（周期长度N=7）。（2）它们的循环总卷积（序列长度N=7），试问这个卷积结果与周期卷积结果有何不同？（3）它们的线性卷积，如采用DFT进行计算，问DFT的最少长度是多少？,循环卷积步骤：补零其中一个序列周期延拓翻褶，截取计算区域循环移位被卷积两序列对应序号值相乘，再相加取主值序列,线性卷积步骤：反转叠加相乘求和移位,循环卷积与线性卷积的比较,解：（1）6,3,6,10,14,12,9周期延拓（2）6,3,6,10,14,12,9（3）1,3,6,10,14,10,9,5 L4+5-1=8,习题3.22,试导出N16时的基四FFT，并画出流图,习题
7、3.22,推导：由已知可得我们把其分成四等份：即简化：进一步简化：根据周期性，可得,同理可得：,习题3.27,希望利用一个长度为50的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，要求利用重叠保留法并通过FFT来实现这种滤波器。为做到这一点，首先输入各段必须重叠N个样本；其次必须从每一段产生的输出中取出M个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长度为100个样本，而FFT的长度为128，循环卷积的输出序号为0127。（1）求N（2）求M（3）求取出的M个点的起点与终点序号，即从循环卷积的128点中取出哪些点去和前一段的点衔接起来？,解：h(n)长度N=50，输入序列每段
8、长度为100，则线性卷积的长度为100+50-1=149采用L=128的FFT计算循环卷积的输入为0127，长度为128。故由题意我们很容易地得到：（1）N=149-128=21（2）M=79（3）2199,习题3.27,错解（1）输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减1：依题意有：N 149（2）输入段的长度：滤波器长度 50，相邻输入段之间（1）点发生重叠，圆周卷积后每一段输出 的前一（1）点发生混淆，去掉这一部分，把相邻段留下的点M+1衔接构成最终的输入，当 100，则有M51.（3）去掉混叠的前N（048）个点，和末尾补的28（100127）个零点，取出的M个点的序号为（4499）,习
9、题3.31,已知 是2N点实序列x(n)的DFT值，现在需要由X(k)求x(n)值，为提高运算效率，试设计用一个N点IDFT运算一次求得2N点的x(n).提示：先组成,解：将x(n)分成奇偶点序列，即 又则解得：因为x1(n),x2(n)均为实序列，所以X1(k),X2(k)均具有共轭对称性,令：则所以所以即,谢谢,循环卷积,下式为循环卷积的计算公式：其的物理意义为：首先对y(m)作周期延拓并围绕纵轴折叠，得；作周期移位 后将对应项x(m)和 在 的主值区间内相乘然后逐项相加即得到f(n)。,习题.,解：由已知可得又因为：故,习题4.3,由已知可得：（1）脉冲响应不变法 由：可得（2）双线性变换法 由：可得,习题4.6,解：由已知可得：又所以当H(z)不变时，即边界频率不变，则此时当 时，当 时，,习题4.8,解：由题意可得：而故,习题4.9,解：由题意可得：又：故,习题4.10,解：由已知可得所以 同理，由公式 可得进而三阶巴特沃斯低通原型变换为带通形式：,即,课堂习题,某一个IIR数字高通滤波器的指标如下：频率在pi/4的衰减为3dB，用三阶巴特沃斯低通原型的双线性设计，采样周期T2s，求：（1）计算巴特沃斯低通的截止频率（2）确定H(z),
