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1、第三节坐标系,第十章选考部分,课 前 自 修,知识梳理,二、极坐标系的概念1极坐标系,如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系,注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系,2极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有
2、序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，)(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的,三、极坐标和直角坐标的互化1互化条件：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：,2互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：,在一般情况下，由tan 确定角时，可根据点
3、M所在的象限取最小正角,4常见曲线的极坐标方程,基础自测,1(2012韶关市调研)极坐标系中，圆M：22cos 30，则圆心M到直线cos sin 70的距离是_,解析：利用互化公式将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程得x2y22x30，xy70，圆心坐标为(1,0)由点到直线的距离公式得所求距离为,2(2012粤西北九校联考)在极坐标系中，过圆 4cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是_,解析：圆的直角坐标方程为x2y24x0，圆心为(2,0)，过该点的直线的极坐标方程为cos 2.答案：cos 2,3(2012江门市调研)已知在极坐标系下，点A，B，O是极点，则AOB的面积等于
4、_,4(2012南京市模拟)已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos，则曲线C1，C2交点的极坐标为_,考 点 探 究,考点一,平面直角坐标系中的伸缩变换,【例1】通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换把圆(x2)2(y3)24变为椭圆C，椭圆C的中心在原点，长轴长为6，短轴长为4.求上述两个变换及这两个变换的合成变换思路点拨：先用平移变换把圆心变到原点，再用伸缩变换把圆变为椭圆,点评：在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)另外要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同,变式探究,1将抛物线C：yx2
5、2x3的图象上的每个点的横坐标都变为原来的2倍，纵坐标不变得到抛物线C1，再将抛物线C1向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到曲线C2，求抛物线C2的顶点坐标,考点二,极坐标与直角坐标的互化,【例2】(1)在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l：ykx20与曲线C：2cos 相交，则实数k的取值范围是_(2)求极点到直线sin 10的距离是_思路点拨：(1)将曲线C的方程化为直角坐标系下的方程，用判别式大于零求解；(2)将直线方程化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式求解,解析：(1)将曲线C的方程2cos 两边同乘以，得22cos，使用互化公式化为x2y22x0，将直线l的
6、方程代入x2y22x0，整理得(1k2)x2(4k2)x40.因为直线l与曲线C相交，所以(4k2)216(1k2)0，解得k.(2)将直线sin 10变为sin cos cos sin 10，即sin cos 20，将互化公式代入，化简得 xy200,则极点到该直线的距离为d 10.,点评：极坐标与直角坐标的互化，基本要求就是会使用互化公式，将极坐标化为直角坐标时，结果是唯一的；而将直角坐标化为极坐标时，结果的表现形式不唯一，这就要注意极角的取值范围和极径的正负一般地，极径取非负值，极角的范围是0,2)，有时极径也会取负值，极角也会取任意实数，要根据具体情况确定,变式探究,2(1)(2012
7、深圳市松岗中学模拟)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_(2)(2012深圳市调研)在极坐标系中，已知直线l：(sin cos)a把曲线C：2cos 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是_,考点三,求曲线的极坐标方程,【例3】已知圆2，直线cos 4，过极点作射线交圆于点A，交直线于点B，当射线以极点为中心转动时，求线段AB的中点M的轨迹方程思路点拨：设点M(，)，将|OM|的长用表示，然后在RtBOC中用余弦关系即得,解析：如图，设M(，)，,因为|OA|2，|OM|，所以|AM|2，|AB|2|AM|24，所以|OB|24222，在RtBCO
8、中，cos 即(1)cos 2为所求的线段AB的中点M的轨迹方程点评：求曲线的极坐标方程，关键就是找出曲线上的点满足的几何条件，将它们用极坐标表示，通过解三角形得到直角坐标系中求轨迹方程的方法，对极坐标方程的求解也适用，如直译法、定义法、动点转移法等,变式探究,3从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值,解析：(1)设动点P的极坐标为(，)，点M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos，即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程是x2y23x，即所以点P的轨
9、迹是以 为圆心，半径为 的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.,考点四,极坐标系的应用,【例4】已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(ab0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB.(1)求证：为定值；,(2)求AOB面积的最大值和最小值思路点拨：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及长度和角度问题时，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算,点评：恰当的选用极坐标系，有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路，提高问题解决的速度,变式探究,4(2012深圳高级中学期末)极坐标系中，圆22cos 30上的动点到直线cos sin 70的距离的
10、最大值是_,1注意极坐标与直角坐标的两组互化公式的使用条件：(1)原点与极点重合；(2)x轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同互化过程中要注意等价性2极坐标系的问题多数情况下转化到直角坐标系去解决，因为我们对直角坐标系比较熟悉，运用起来得心应手，比如判断曲线的类型，求距离和点的坐标等3如果直接在极坐标系中解决问题，则要和解三角形联系起来，根据几何图形，合理使用公式(比如正余弦定理，三角形面积公式，直角三角形中的正余弦关系等)解决问题.,感 悟 高 考,品味高考,1(2012江西卷)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_,解析：将互化公式2x2y2，cos x，代入方程x2y22x0，整理得极坐标方程为2cos.答案：2cos,2(2012陕西卷)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_,高考预测,1(2011佛山市一模)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是_,2(2012肇庆市二模)在极坐标系中，曲线2与cos sin 0(0)的交点的极坐标为_,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
