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1、October 9,2004,第四章-1,第四章弹性结构静力分析,October 9,2004,第四章-2,三维四面体单元,在工程实际中，许多问题结构形式复杂都难以简化为平面或轴对称问题，必须按三维问题（空间）进行求解。在三维问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体单元。下面介绍这种单元的位移模式和单元刚度矩阵。,三维四面体单元,o,x,y,z,i,j,m,p,October 9,2004,第四章-3,（1）位移模式,如图表示一个四面体单元，节点编号为(i,j,m,p)。这是最早提出的、也是最简单的三维空间单元。每个节点有三个位移分量：,i=ui,vi,wi每个单元共有12个自由度（位移分量
2、），可表示为：e=i,j,m,p假设单元内部的任一点位移可表示为坐标的线性插值函数，则有：,o,x,y,z,i,j,m,p,October 9,2004,第四章-4,（1）位移模式,将节点节点坐标和位移分量代入上式可得：,解上述线性方程组，求出系数(a1,a2,a3,a4)代入上式可得：,o,x,y,z,i,j,m,p,同理可得v,w得位移关系为：,October 9,2004,第四章-5,（1）位移模式,Ni(i,j,m,p)为三维四面体单元得形函数。具体表达式如下：,V为四面体i,j,m,p的体积，由下行列式确定：,o,x,y,z,i,j,m,p,为保证四面体的体积计算为正值，单元的节点编
3、号必须满足一定的顺序。在右手坐标系中，当节点按ijm的方向转动时，右手螺旋应向节点p的方向前进。,October 9,2004,第四章-6,（1）位移模式,三维四面体单元节点位移分量可表示为：,式中，e=ui,vi,wi,uj,vj,wj,um,vm,wm,up,vp,wpT，为单元节点位移列阵，I为三阶单位矩阵。由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。,October 9,2004,第四章-7,（2）单元应变和应力,由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。根据几何方程应变列阵可表示为：,将形函数代入上式，可得：,于是应变矩阵为B，其中子矩阵Bi为
4、63的矩阵：,可以看出，矩阵B中的元素均为常量，所以单元的应变分量都是常应变。,October 9,2004,第四章-8,（2）单元应变和应力,利用物理方程（应力-应变关系），单元应力可用节点位移表示为：,其中，弹性矩阵D具有如下形式：,注意单元应变分量为常量，应力分量也为常量，这种单元称为常应变单元。,对称,October 9,2004,第四章-9,（3）单元刚度矩阵,三维条件下单元刚度矩阵普遍公式为：,将矩阵B和D代入上式，由于这些矩阵元素均为常量，很容易推导出：k=BTDBV 或写成分块形式：,October 9,2004,第四章-10,（3）单元刚度矩阵,其中，子矩阵krs由下式确定：
5、,式中，g1=/(1-)，g2=(1-2)/2(1-)。,October 9,2004,第四章-11,（4）等效节点载荷,当单元内作用体积力：q=qx,qy,qzT并且体积力为常数时，可由下式求的节点i,j,m,p的等效载荷为：,其中V为单元的体积，即三个方向的体积力都平均分配到单元的四个节点上。,October 9,2004,第四章-12,等参单元,由前面的讨论可知，单元形函数（位移模式）的确定是建立有限元法计算公式的关键，也即如何选择单元内部位移的近似插值函数。在建立单元的位移模式时，可以采用结构的整体坐标系，也可以采用单元的局部坐标系，即通过坐标变换，将坐标原点选择在单元上。利用单元局部
6、坐标系，可获得推导单元形函数的一般方法，进而建立“等参单元”的概念。“等参数单元”是一种构造单元近似插值函数的方法。,“等参单元”是有限元法中应用最为广泛的单元，即适用于线性单元，也很容易推广到二次单元，容易推广于直线和曲线边界等各种复杂问题。为了介绍“等参元”的概念，首先分析一下单元形函数的性质，即在确定形函数，应满足那些基本准则。,October 9,2004,第四章-13,（1）单元形函数,单元形函数是定义于单元内部坐标的连续函数，为保证有限元解的收敛于精确解，它应满足以下条件：1）在单元节点上有：Ni=1；Nj=0，（ji）；2）用形函数定义的位移模式在相邻单元边界是连续的，即函数单值
7、和连续性；3）形函数应包含任意的线性项，以保证单元位移能够满足常应变条件；4）对某一单元，全部节点的形函数和为1：Ni=0。,以点、直线、平面为边界的规则形状的单元称为“基本单元”，把固定在单元上的无量纲坐标系称为“自然坐标系”，也称为定义在单元上的“局部坐标系”，仅在单元内有意义-1+1，-1+1，如图所示。,o,8,7,6,5,4,3,2,1,o,1,2,3,4,5,6,7,8,一维单元,二维单元,三维单元,October 9,2004,第四章-14,（1）单元形函数,与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单元”，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系”或“基本坐标
8、系”。实际单元定义在整体坐标系中，如图所示。,o,y,x,o,o,x,x,y,y,z,1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,一维单元,二维单元,三维单元,October 9,2004,第四章-15,（1）单元形函数,由于局部坐标系和基本单元形式简单，其形函数也容易构造，我们希望在获得基本单元形函数的条件下，通过一定的坐标变换转换为整体坐标中实际单元的形函数。在单元局部坐标系中，利用插值函数很容易构造形函数。如图所示，两种一维基本单元，对线性单元有2个节点1=-1、2=1，形函数为：,对二次单元有3个节点1=-1、2=1、3=0，形函数为：,一次单元,二次单元,
9、October 9,2004,第四章-16,（1）单元形函数,如图示，二维基本单元是平面内的正方形。局部坐标系原点位于正方形的中心处，单元边界是4条直线。对平面线性单元有4个节点，形函数为：,特别注意：因形函数中存在二次项项，实际上已不是严格的线性函数。,October 9,2004,第四章-17,（1）单元形函数,如图示，二维基本单元是平面内的正方形。局部坐标系原点位于正方形的中心处，单元边界是4条直线。对平面二次单元有8个节点，形函数为：,October 9,2004,第四章-18,（2）坐标变换,上述单元几何形状规则，运算简单，但显然不适用于实际结构复杂形式。为此，我们可以通过坐标变换方
10、式，将局部坐标系的基本单元转换为整体坐标系的实际单元。为进行这种变换，必须在局部坐标系和整体坐标系之间建立必要的联系，借助于单元形函数就可以建立这种联系。,October 9,2004,第四章-19,（2）坐标变换,对整体坐标系中一维单元，若实际单元的节点坐标为(xi,yi,zi)，则单元内部任一点的坐标(x,y)可由下式确定：,其中，Ni为该单元的形函数，(x,y,z)为实际单元内部任一点整体坐标，(xi,yi,zi)为实际单元节点整体坐标，m为该单元的节点数。利用形函数的性质可以证明，当局部坐标从-1变化到+1时，整体坐标(x,y,z)从节点1变化到节点m，即上述关系式建立了单元局部坐标与
11、整体坐标之间的一一对应映射关系。,October 9,2004,第四章-20,（2）坐标变换,如图示的平面二次一维单元，局部坐标与整体坐标间的变换关系为：,容易看出，当=-1时代入上式，可得(x,y)=(x1,y1)；=0时，(x,y)=(x3,y3)；=+1时，(x,y)=(x2,y2)；当-1+1变化时，消取参数，可得由三节点整体坐标定义的二次曲线。这样，将局部坐标和整体坐标(x,y)建立起一一对应关系，我们可以说通过上式，将局部坐标系中“基本单元”几何形状（直线）变换为整体坐标系“实际单元”几何形状（二次曲线）。,一维单元坐标变换,o,y,x,1,2,3,October 9,2004,第
12、四章-21,（3）位移模式,对三维一般问题进行讨论。若实际单元在整体坐标系中节点位移分量为：ie=ui,vi,wiT，（i,j,m,p）那么利用形函数，单元内部任一点的位移可表示为：,或表示为矩阵形式：,October 9,2004,第四章-22,（3）位移模式,对坐标变换和位移模式进行比较，可以看出两者都采用了相同的形函数。坐标变换是用单元节点的坐标，插值求解单元内各点的坐标，属于“单元几何图形变换”；而位移模式是用节点的位移，插值确定单元内部各点的位移分量，它描述的是“单元的变形形态”。从数值分析角度看，两者都是“插值”问题（即利用有限点函数值确定其他未知点函数值），节点就是“插值基点”，
13、形函数是“插值函数”。因此，对某种单元而言，在进行坐标变换和选择位移模式时，可以采用相同的“插值节点”和“插值函数”，也可采用不同的“插值节点”和“插值函数”。,October 9,2004,第四章-23,（3）位移模式,等参数单元：如果单元坐标变换和选择位移模式中，采用相同的“插值节点”和“插值函数”，即规定“单元几何形状”的节点数等于“确定单元位移”的节点数，那么这种单元称为“等参数单元”。超参数单元：如果单元坐标变换中的“插值节点”数和“插值函数”次数高于位移模式中的，即规定“单元几何形状”的节点数多于“确定单元位移”的节点数，那么这种单元称为“超参数单元”。次参数单元：如果单元坐标变换
14、中的“插值节点”数和“插值函数”次数低于位移模式中的，即规定“单元几何形状”的节点数少于“确定单元位移”的节点数，那么这种单元称为“次参数单元”。,坐标变换,位移模式,=,October 9,2004,第四章-24,（4）单元应变和应力,三维空间问题应变和位移的关系为：,将位移插值函数代入上式，得到：,October 9,2004,第四章-25,（4）单元应变和应力,其中子矩阵Bi为：,October 9,2004,第四章-26,（4）单元应变和应力,单元形函数是用局部坐标给出的，根据复合偏微分法则，可得：,同理可得Ni/，Ni/，合并起来写成矩阵形式：,上式中矩阵J称为雅可比矩阵(Jacob
15、i)，可由坐标变换公式求出，即：,October 9,2004,第四章-27,（4）单元应变和应力,矩阵J称为雅可比矩阵(Jacobi)，可由坐标变换公式求出，即：,October 9,2004,第四章-28,（4）单元应变和应力,对矩阵J求逆后，可得到形函数在整体坐标中的导数为：,在局部坐标系中，形函数形式比较简单，但经过坐标变换后，形函数一般很用整体坐的显式函数将等参元的位移函数表示出来，因此，通常很难判断等参元中应变和应力的分布规律。为保证等参元坐标变换计算有效，即雅可比矩阵J-1的逆存在，等参元的形状应比较均匀，越接近正六面体越好，反之计算误差越大。,October 9,2004,第四
16、章-29,（5）单元刚度矩阵,根据三维条件下单元刚度矩阵公式：,进行分块后，子矩阵为：,利用坐标变换，将整体坐标积分dxdydz变换为局部坐标积分，根据微分矢量计算可得：dxdydz=det(J)ddd其中，det(J)表示雅可比矩阵的行列式的值，代入上式可得：,October 9,2004,第四章-30,（6）数值积分的应用,如上所述，计算等参元刚度矩阵时，由于被积函数的复杂性，只能采用数值积分代替函数积分，即在单元积分区域中选择某些点，称为积分点，计算被积函数G(,)在这些积分点的函数值，然后用加权系数乘以这些函数值，进行求和作为该积分的近似值。数值积分方法很多，可参见有关计算方法的专著。
17、在等参元计算中，广泛采用高斯(Gauss)积分法，这种方法可以用较少的积分点达到较高的计算精度。,October 9,2004,第四章-31,（6）数值积分的应用,首先介绍一维高斯积分公式：,式中，f(i)为被积函数f在积分点i处的函数值，Hi是加权系数，n为积分点数目。在未知被积函数形式的情况下，高斯积分公式假设被积函数f()为多项式形式进行求解。对于n个积分点，可以选择Hi和i的2n个常数，当f()为2n-1次多项式时，高斯积分公式给出精确积分值。如n=2积分点，则有4个常数 H1和H2、1和2；当f()为3次多项式时，高斯积分公式给出精确积分值。,October 9,2004,第四章-3
18、2,（6）数值积分的应用,如取2个积分点：n=2,假设被积函数f()为三次多项式，则有：,求出上式的准确积分为：,October 9,2004,第四章-33,（6）数值积分的应用,对任意给定的ci多项式，保证上式成立的条件是对应ci的系数相等，则有：,求解上述方程可得：,所以2个积分点的高斯积分公式为：,October 9,2004,第四章-34,（6）数值积分的应用,如果积分限时(a，b)进行变量替换：,October 9,2004,第四章-35,（6）数值积分的应用,利用一维高斯积分公式，很容易导出二维及三维高斯积分公式，只需分别对各自变量应用一维高斯积分公式即可。列出二维高斯积分公式为：
19、,同理可得，三维高斯积分公式为：,October 9,2004,第四章-36,总结,详细介绍了求解弹性结构承受载荷作用的有限元计算公式的推导过程。对平面问题：三角形单元：平面应力 平面应变，线性单元、常应变单元 可用于求解各种平面受力问题；六节点三角形单元，平面应力，平面应变，二次单元,热应力分析计算思路和有限元公式：等效热载荷；平面应力，平面应变。对轴对称问题：三角形单元，线性单元，对三维问题：四面体单元，线性单元，等参单元：形函数的特点，形函数的定义；坐标变换与位移模式选择相同的形函数，适应一维、二维和三维单元，线性单元，二次单元；单元刚度矩阵用高斯数值积分计算，没有具体表达式，刚度矩阵计算精度依赖于高斯积分公式所选的积分点数。,
