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1、第2章 线性回归的基本思想,双变量模型,2.1 回归的含义2.2 总体回归函数2.3 总体回归函数的统计或随机设定2.4 随机误差项的性质2.5 样本回归函数2.6“线性”回归的特殊含义2.7从双变量回归到多元线性回归2.8参数估计：普通最小二乘法2.9综合2.10 一些例子2.11 总结,2.1 回归的含义,回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变量explained variable 或应变量 dependent variable）与另一个或多个变量（称之为解释变量 explanatory variable 或自变量 independent variable）之间关系的一种分析方法。例如
2、研究商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。通常我们用Y表示应变量，用X表示自变量。,回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一个是自变量是由正确的经济理论决定的。,需要注意的是具有因果关系的变量之间一定具有数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不一定具有因果关系。例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。,回归分析的应用,（1）通过已知变量的值来估计应变量的均值（2）根据经
3、济理论建立适当的假设并对其进行检验（3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测（4）上述多个目标的综合,2.2 总体回归函数:假想一例,下面我们通过一个具体例子说明回归分析的用途。,分析步骤：（1）以家庭年收入X为横轴，学生的数学分数Y为纵轴，对表中数据作散点图。（2）分析两变量间的关系（3）做出总体回归直线,图2-1 家庭年收入与数学分数,总体回归函数PRF,B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数(regression coefficients)。B1又称为截距(intercept)，B2又称为斜率(slope)。斜率度量了X每变动一个单位，Y的条件均值的变化率。,Y的条件期望
4、，可简写为E(Y),注意：回归分析是条件回归分析(conditional regression analysis)。,(2-1),随机总体回归方程(stochastic PRF)ui表示随机误差项(random error term)，简称误差项。,2.3 总体回归函数的统计或随机设定,(2-2),2.4 随机误差项的性质,（1）在解释变量中被忽略的因素的影响；（2）变量观测值的观测误差的影响；（3）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些内在随机性；（4）奥卡姆的剃刀原则“简单优于复杂”。,2.5 样本回归函数,如何估计总体回归函数，即求参数B1、B2呢？,前面我们已经介绍了：,总体回归函数P
5、RF,随机总体回归方程(stochastic PRF),(2-1),(2-2),如果已知整个总体的数据，如上例，问题就比较简单，但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？,表2-2、2-3 来自表2-1总体的两个随机样本,做散点图及估计样本回归直线如下：,样本回归直线可用样本回归函数SRF来表示：,(2-3),(2-1),随机的样本函数：,(2-4),(2-2),样本回归函数随机样本回归函数总体回归函数随机总体回归方程观察值可表示为,(2-3)(2-4)(2-1)(2-2)(2-6)(2-7),线性,OLS,总结,图2-4 总体回归线与样本回归线,
6、.,.,.,.,.,.,e1,u1,Y1,A,en,un,X,Y,0,需求量,价格,2.6“线性”回归的特殊含义,解释变量线性与参数线性,图2-5 线性和非线性需求曲线,非线性举例：,1.解释变量线性,例如：,2.参数线性,非线性举例：,例如：,图2-5 线性和非线性需求曲线,1,1,1,1,X,X,Y,Y,价 格,价 格,需求量,a)线性需求曲线,b)非线性需求曲线,2.7 从双变量回归到多元线性回归,多元线性回归：如果数学分数是收入(X2)、选修数学课程(X3)和年龄(X4)的函数，则扩展的数学分数的函数如下：,个体学生分数函数（即随机总体回归函数）为：,（2-11）,（2-12）,2.8
7、 参数估计：普通最小二乘法,普通最小二乘法(OLS)最小二乘原理总体回归方程：样本回归函数：因而 利用(2-3)最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和(RSS)最小，数学形式为：(2-13),普通最小二乘法就是寻找使RSS达到最小时的参数作为参数估计值的一种方法。利用极值原理可以得到：,(2-16)(2-17),正规方程,(2-14)(2-15),求解得到：,普通最小二乘估计量的一些重要性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,2.9 综合,解得：,利用OLS方法估计样本回归方程，具体计算步骤如表2-4（见下页）：,斜率：,截矩：,对数学分数回归结果的解释,对数学分数的估计结果解
8、释如下：斜率系数0.0013表示，在其他条件保持不变的情况下，家庭年收入每增加一美元，数学分数将平均增加约0.0013分。截距432.41表示，当家庭年收入为0时，数学的平均分数约为432分。截距一般没有什么特殊的经济含义。,2.10 一些例子,例 2-1：受教育年限与平均小时工资 根据由528个观察值组成的样本，表2-5（见下页）给出了平均小时工资Y和受教育年限X的数据。根据劳动经济学中的人力资本理论，预期平均工资随受教育年限的增加而增加，二者正相关。数据的回归结果如下：回归结果表明，在其他条件不变的情况下，受教育年限每增加一年，平均小时工资增加72美分。前面已经提到过，在大多数情况下，截距
9、没有什么明显的经济含义，本例亦如此。,例2-2：奥肯定律：布鲁金斯学会主席，前总统经济顾问委员会主席奥肯（Arthur Okun）根据美国1947-1960年的数据，得到如下回归方程，称之为奥肯定律：其中，Yt表示失业率的变动（百分数），Xt表示实际产出的增长率（百分率），用实际GNP度量，2.5是对美国历史的观察得到的长期产出增长率。在上面方程中，截距为零，斜率为-0.4。奥肯定律是说实际GNP的增长每超过2.5%一个百分点，失业率将降低0.4个百分点。奥肯定律被用来预测失业率减少到一定的百分点而所需的实际GNP的增长率。当实际GNP增长率为5%时，将使失业率减少一个百分点，或者说若使增长率
10、达到7.5%，则减少失业率2个百分点。,例 2-3：股票价格与利率 股票价格和利率是重要的经济指标。利用S&P500综合指数(19411943年10)度量股票价格，三月期国债利率()度量利率。表2-13给出了19801999年这些变量的数据。根据散点图（下页）（见Excel文件和Eviews文件），两变量间的关系可能不是线性的，我们可以尝试拟合如下模型：,利用Eviews软件得到如下结果：,如果我们拟合线性模型，可以得到：,究竟哪一个模型更好？我们应该如何进行模型的选择？,例2-4：美国中等房价与贷款利率（19802007年）为了研究贷款利率对房价的影响，表2-7给出了纽约19802007年中
11、等房价和30年固定贷款利率的数据。（散点图见下页）,回归结果表明，如果贷款利率提高一个百分点，则中等房价平均降低约17.4个单位，即17400美元。问题：降低利率是否对房价有显著的影响？是否应该考虑中等家庭收入水平的影响？,例2-5：古董钟与拍卖价格 德国Triberg钟表公司每年都举行钟表拍卖会。表2-14给出了32个钟表的信息数据（钟表的年代、投标人的个数、中标的价格）。,利用数据得到的散点图和回归结果见Excel文件。,2.11总结1.回归分析的基本思想2.总体回归函数PRF、随机总体回归函数、样本回归函数SRF和随机样本回归函数3.普通最小二乘法OLS方法4.对估计的样本回归函数的解释 作业：P34:2.1、2.2、2.3、2.4、2.5、2.8、2.9、2.10、2.11.,
