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1、,截面几何性质,Geometrical Properties of An Area,截面几何性质：与截面形状和尺寸有关的几何量。,截面几何性质,拉伸：,扭转：,本次课主要内容,静矩和形心惯性矩和惯性半径惯性积平行移轴公式转轴公式主惯性轴,1.静矩(一次矩),2.形心,I.1 静矩和形心,结论：1、Sz=0 z 轴是形心轴2、对称轴必定是形心轴,3.组合截面的静矩和形心,y,z,z,o,y,静矩,(yi,zi),试求图示曲线下的面积OAB对于y轴的静矩Sy和形心位置xc,x,y,A,o,b,h,B,解：,【例题 1】,面积,形心,负面积法,x,y,o,1.惯性矩（二次轴矩）,惯性矩恒为正值,2.
2、惯性半径,I.2 惯性矩和惯性半径,截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,3.极惯性矩（二次极矩）,试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。,解：,【例题 2】,【例题 3】试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,解：,y,z,D,C,4.组合截面的惯性矩和极惯性矩,【例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,能否用同样的办法计算抗扭截面系数？,惯性积可正、可负、可为零,I.3 惯性积,坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。,已知：,求：,(a 和 b 是截面的形心在 oyz 坐标系中的坐标),I.平行移轴
3、公式,C,y,z,o,a,b,yc,zc,其中：,IyIyc,在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。,平行移轴公式：,已知：,解：,求：,【例题 5】,【例题6】求图示截面对与y和z平行形心轴的惯性矩和惯性积。,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.47,计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,已知：,求：,I.5 转轴公式主惯性轴,1.定点转轴公式,Iy1 Iy,Iz,Iyz,转轴公式,定义：若截面对某对坐
4、标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为主轴。,令：,2.主惯性轴（主轴）,可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。,讨论：主轴方向的惯性矩,3.主惯性矩,定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。,由：,得：,显然：,主惯性矩的计算公式：,定义：(1)通过形心的主轴称为主形心轴。(2)对主形心轴的惯性矩称为主形心惯性矩。(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称为主形心惯性平面。,显然：对称轴必定是主形心轴。,4.主形心轴和主形心惯性矩,证明：设通过截面 O 点的y、z 轴为主轴，u、v 为另一对主轴，其中o不是/2 的整数倍，由转轴公式：,而：,从而：,【例题 5】试证明下列定理：如果通过
5、截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。,故过点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。,y,z,o,z1,y1,v,u,推论：,【例题 6】求图示截面的主形心惯性矩。,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.47,建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,3、计算主形心轴和主形心惯性矩,Iyc=279 cm4Izc=100 cm4Iyczc=-97 cm4,1、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置 yc 和 zc,2、计算形心轴惯性矩和惯性积 Iyc、Izc、Iyczc(用平行轴公式),3、计算主形心轴 的方位角0和主形心惯矩Iy0、Iz0（用转轴公式）,小结求主形心惯矩步骤,z,o,Iyc=279 cm4Izc=100 cm4Iyczc=-97 cm4,c,y,课后练习,作业：4-7,4-8,思考：已知任意截面图形的面积为A，对其形心C点的极惯性矩为IPC，当图形对某点(x,y)的极惯性矩 IP 2 IPC 时，求该点的轨迹方程。,
