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1、,材料力学,附录 截面的几何性质,2023年2月19日,附录 截面的几何性质,2,受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与 截面的几何性质也相关。,拉压变形：,扭转变形：,弯曲变形：,A,IP,WP,Iz,Wz表征截面几何性质的量,3,一、静矩（或一次矩）,分别称为截面图形对于z轴和y 轴的静矩。,静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为m3。,对单位厚度的均质薄板，其形心坐标为：,定义：,4,-1 静距和形心,二、形心,（平面图形面积的几何中心称为形心。）,5,求静矩的另一公式：,结论：截面图形对通过其形心的轴的静矩为零；反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。,结
2、论：静矩的值与所选的坐标有关,可正、可负，也可为零。,三、组合图形的静矩与形心,由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:,7,例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。,解：,取平行于x轴的狭长条，,所以对x 轴的静矩为,取 x 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合,解：将截面分为 1，2 两个矩形。,例 试确定图示截面心 C 的位置。,1,2,1,2,矩形 1,矩形 2,所以,1,2,思考：求下图所示截面的形心位置,12,解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条作为微面积，即,例 半径为r的半圆：求半圆的形心。,一、惯性矩,分别称为截面
3、图形对于z轴和y 轴的惯性矩。,惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4。,定义：面积与它到轴的距离的平方之积,14,.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积,称为截面图形对O点的极惯性矩。,即截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,15,二、极惯性矩,z,y,且,即：对O点极惯矩等于对过O点同一平面内任意一对 相互垂直轴的惯矩之和。,所以 只与原点O有关，即,三、惯性半径,ix 和iy分别称为截面图形对于x轴和 y轴的惯性半径，单位为m。,18,例-3 计算矩形截面对其对称轴y轴和z轴的惯性矩。,解：先计算截面对z轴的惯性矩。取平行于z轴的狭长条为微面积，即:,同理，计算对
4、y轴的惯性矩。取平行于z轴的狭长条为微面积，即:,19,20,若截面是高度为h的平行四边形，则其对形心轴x 的惯性矩同样为,例5 求圆形截面的惯性矩。,已知,则,而,所以,常见截面的惯性矩和惯性半径,矩形,圆形,圆环,22,.3 惯性积,定义为截面图形对于z轴和y 轴的惯性积。,惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零，常用单位为m4。,若y,z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对y,z轴的惯性积一定等于零。,23,一、平行移轴公式,C点为截面图形的形心，,yC轴和zC轴为一对通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性矩、惯性积分别记为：,24,-4 平行移轴公式,截面图形对于y轴和z轴的
5、惯性矩和惯性积为:,25,即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。,同理：,26,注意：,（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴的惯性矩最小.,二、组合截面的惯性矩,27,a,下列计算是否正确？,不正确！,因为x1和x2都不是形心轴!,28,例 计算T型截面对其形心轴zC轴的惯性矩IZC。,解：先截面看成由矩形1和矩形2组成，选Z轴为参考坐标轴,首先确定截面的形心坐标C(0,yC),应用平行移轴公式分别计算出矩形1、2对zC轴的惯性矩,29,整个图形对zC轴的惯性矩IZC,30,例
6、已知矩形截面对z1轴的惯性矩，现有与z1轴平行的另一轴z2轴，二者间距为a0，用平行移轴公式计算图形对z2轴的惯性矩Iz2。解：设z0为矩形截面的形心轴。,31,32,例 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。,解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。,（1）矩形对x的惯性矩：,（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见前例）,33,（3）一个半圆对x的惯性矩：,由平行移轴公式得：,（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：,34,一、惯性矩和惯性积的转轴定理,设一平面图形,已知 求,-5 转轴公式主惯性距,35,角从原始坐标轴量起,逆时针转向为正,反之则为负.,如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。,对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩。,37,方向 的求解:,代入,得主惯矩为,38,求,因此主惯性轴的惯性矩 即过o点各轴中的惯矩极值。,可求得:,39,定理:截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴,则 所有通过该点的轴都是主惯轴。,推论:当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等,则过该点的轴都是主惯轴。,(2)任何具有三个或三个以上对称轴的截面图形,它所有的形心轴都是主惯轴,且惯矩相等。,40,作 业,P388:1.4 d 1.6,41,41,
