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1、Appendix Properties of Plane Areas,附录 截面的几何性质,附录 截面的几何性质 (Appendix Properties of plane areas),1-1 截面的静矩和形心(The first moments of the area & centroid of an area),1-4 转轴公式 (Rotation of axes),1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia),1-3平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem
2、),1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of an area),一、静矩(The first moment of the area ）,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可正，可负，也可能等于零.,y,z,O,y,z,二、截面的形心(Centroid of an area),（2）截面对形心轴的静矩等于零.,（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.,三、组合截面的静矩和形心(The first moments ¢roid of a composite area),由几个简单图形组成的截面称为组合截面.,
3、截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.,其中 Ai 第 i个简单截面面积,1.组合截面静矩(The first moments of a composite area),2.组合截面形心(Centroid of a composite area),第 i个简单截面的形心坐标,解：组合图形，用正负面积法解之.方法1 用正面积法求解. 将截面分为1，2 两个矩形.,例题1 试确定图示截面形心C的位置.,取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合,10,10,120,90,图(a),矩形 1,矩形 2,所以,方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b),1-2
4、 极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia),二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）,一、惯性矩(Moment of inertia),所以,y,z,O,三、惯性积 (Product of inertia),（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可 能为正值，负值，也可能等于零；,（2）若y，z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y，z轴的惯性积 一定等于零.,四、惯性半径(Radius of gyration of the area),解：,b,h,y,z
5、,C,例题2 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩.,解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为,例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩.,所以,y,z,O,C(b,a),b,a,一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia),(b , a ) 形心C在 yOz坐标系下的坐标,1-3 平行移轴公式 (Parallel-axis theorem),y,z 任意一对坐标轴,C 截面形心,C(b,a),b,a,yC , zC 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴）,Iy , Iz , Iyz 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯
6、性积.,已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式,IyC , IzC , IyCzC 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩 和惯性积.,二、组合截面的惯性矩 、惯性积( Moment of inertia & product of inertia for composite areas ）,组合截面的惯性矩，惯性积,第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩，惯性积.,例题4 求梯形截面对其形心轴 yC ，zC的惯性矩.,解：（1）将截面分成两个矩形截面.,截面的形心必在对称轴 zC 上.,取过矩形 2 的形心且平行于底边的
7、轴作为参考轴记作 y轴.,所以截面的形心坐标为,20,140,100,20,2,（2）确定形心轴为yC和zC轴,（3）分别计算,（4）求代数和, 逆時针转取为 + 号，,1-4 转轴公式 (Rotation of axes),同理,改写为,并且,sin2a=2sinacosa,cos(2a)=1-2sin(a),几个定义：,主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴y0 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴.,主惯性矩：截面对主惯性轴y0 , z0的惯性矩.,形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.,形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩.
8、,主惯性矩,计算主惯性矩的第一组公式,0 0+,从而确定了一对坐标轴yo和 zo,惯性积Iy1z1=0,该对坐标轴是图形的主轴,惯性矩的极值方位就是主轴方位,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算,图形对主轴的惯性矩,计算主惯性矩的第二组公式,几个结论,1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；,2 在过同一点的所有正交轴中，,图形对主轴的惯性矩,另一个为最小值；,一个为最大值，,3 此公式适用于水平轴为y轴,1 确定形心 的位置,2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 yc ，zc,求形心主惯性矩的步骤,计算图形对形心轴的惯性矩 Iy , Iz 和惯性积 Iyz,3 确定主惯性轴的位置,0 0+,4 计算形心主惯性矩,5 方位与形心主惯性矩的对应关系,如果,例题5 计算所示图形的形心主惯性矩.,解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.,过形心C选一对座标轴 y z 轴，计算其惯性矩(积).,分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 23.8 或者113.8得出.,形心主惯性轴 y0 , z0,将23.8 和113.8带入转轴公式：,可求出形心主惯性矩,附录结束,例题6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性矩.(b=1.5d),解：（1）建立坐标系如图.,（2）求形心位置.,d,b,2d,
