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1、概率、变量分布列与期望,【达标过关】,1、袋中有3个白球和若干个红球，现从中任取2个球，若取到白球个数的期望值为0.75，则袋中的红球个数为_.,5,2、在区间0,10内随机取出2个数，则2个数的平方和也在区间0,10内的概率为（）,D,D,4.,D,1.随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0P(A)1;必然事件的 概率为1；不可能事件的概率为0.（2）古典概型的概率 P（A）=.（3）几何概型的概率 P（A）=,A中所含的基本事件数基本事件总数,构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）,2.互斥事件有一个发生的概率P（AB）=P（A）+P（B）.3.
2、条件概率 在A发生的条件下B发生的概率：P（B|A）=.4.相互独立事件同时发生的概率 P（AB）=P（A）P（B）.5.独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn（k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，2，n.,【典例分析】,【例1】在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取出一张卡片，记下 它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子 中任意取出一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；（2）xy是3的倍数的概率.,解（1）先后两次抽取卡片，每次都有1到10这 10个结果，故所得有序
3、实数对（x，y）共有10 10=100个.因为x+y是10的倍数，它包含下列10个数对：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，10），故x+y是10的倍数的概率 P（A）=.,（2）要使xy是3的倍数，只要x是3的倍数或y是3的倍数即可，在这里可分三类：x是3的倍数，y不是3的倍数，这样的数对（x，y）有 个；x不是3的倍数，y是3的倍数，这样的数对（x，y）有 个；x，y都是3的倍数的数对（x，y）有 个.故xy是3的倍数的概率为.,【例2】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 表示方程x2+bx+
4、c=0实根的个数(重根按一个计).(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;(2)求 的分布列和数学期望;(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.,解(1)基本事件总数为66=36,若使方程有实根，则=b2-4c0,即 当c=1时,b=2,3,4,5,6;当c=2时,b=3,4,5,6;当c=3时,b=4,5,6;当c=4时,b=4,5,6;当c=5时,b=5,6;当c=6时,b=5,6;目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为,(2)由题意知,=0,1,2,故 的分布列为(3)记“先后两次出现的点数中有5”
5、为事件M,“方程x2+bx+c=0有实根”为事件N,某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知 该种产品的成本C与产量q的函数关系式为(q0).该种产品的市场前景无 法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概 率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:,【尝试训练】,设L1,L2,L3分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量 表示当产量为q而市场前景无法确定的 利润.(1)分别求利润L1,L2,L3与产量q的函数关系式;(2)当产量q确定时,求期望(3)试问产量q取何值时,取得最大值.,解(1)由题意可得,(2)由期望定义可知,=0.4L1+0.4L2+0.2L3,(3)由(2)可知
6、是产量q的函数,得f(q)=-q2+100.令f(q)=0,解得q=10,q=-10(舍去）.由题意及问题的实际意义(或当0q10时,f(q)0;当q10时,f(q)0)可知,当q=10时,f(q)取得最大值，即 最大时的产量q为10.,1.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为,则 的概 率是_.解析 由向量夹角的定义,图形直观可得,当点A(m,n)位于直线y=x上及其下方时,满足 点A(m,n)的总个数为66个,而位于直线y=x上及其下方的 点A(m,n)有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(
7、4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21个,故所求概率P=,【课堂巩固】,2.已知变量x,y具有线性相关关系,测得一组数据如 下:(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70),若它们 回归直线的斜率为6.5,则在这些样本点中任取一点,它在回归直线上方的概率为()A.B.C.D.解析 因为 所以回归直线方程为 经检验知,只有 点(5,60),(8,70)在回归直线上方,所以所求概率为,A,3.(2009山东)在区间 上随机取一个数x,cos x
8、的值介于0到 之间的概率为()A.B.C.D.解析 在区间-1,1上随机取一个数x,即x-1,1 时,其长度为2,又x-1,1时,此时满 足 的x的取值范围为 0,1,即 x1,故x0,1满足 的长 度为 由对称性,当x-1,0时,满足0 的区间长度也是 故所求概率为,A,4.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长 都等于6 cm.现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格 上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是()A.0 B.1 C.D.解析 本题属几何概型,其测度为线 段长度,如图硬币圆心落点应考虑在 AM或BN上,P(A)=,C,5.已知:0 x4,0y2,则 的概率是_.解析 当0y
9、1时,0 y1,即图中阴影部分.其面积为S1=当y1时,1y 2,即图中阴影部分.其面积为S2=综上可知:所求的概率为P=,6.甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一 个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲 队中每人答对的概率均为 乙队中3人答对的概率 分别为 且各人正确与否相互之间没有影响.用 表示甲队的总得分.(1)求随机变量 分布列和数学期望;(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一 事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一 事件,求P(AB).,解(1)方法一 由题意知 的可能取值为0,1,2,3,且所以 的分布列为 的数学期望为,方法二 根据题设可知因此 的分布列为(2)方法一 用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C+D,且C、D互斥,由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“乙队得k分”这一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故是P(AB)=P(A3B0+A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1),
