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1、2.1 随机变量及其分布,一、随机变量的概念,二、离散型随机变量的概率分布,三、分布函数,四、离散型随机变量的分布函数,五、连续型随机变量及其概率密度,一、随机变量的概念,定义21(随机变量),定义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量,在掷骰子的实验中 其出现的点数记为随机变量X 则X作为样本空间 1 2 3 4 5 6上的函数定义为 X(),随机变量举例,一、随机变量的概念,定义21(随机变量),定义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量,在投掷一枚硬币进行打赌时 出现正面时投掷者赢一元钱 出现反面时输一元钱 记赢钱数
2、为随机变量X 则X作为样本空间 正面 反面上的函数定义为,随机变量举例,二、离散型随机变量的概率分布,定义22(离散型随机变量)设X是定义在概率空间(P)上的一个随机变量 如果X的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个 则称X是一个离散型随机变量,设X是离散型随机变量 其全部可能取值为xi i1 2 记 P(xi)PXxi,i1,2,(21)则称p(xi)i1 2 为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表,定义23(概率分布),概率分布的性质,任何一个离散型随机变量的概率分布p(xi)必然满足下列性质 1 p(xi)0 i1 2(22),例 21
3、 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即,于是X的概率分布为,解,(1)由于,(2)由于,解,PX1,PX3,PX4,PX1PX2PX3,1,PX1PX2PX3,1,0,说明,三、分布函数,定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x),分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质,若x1 x2 则F(x1)F(x2),(1)单调性,(3)右连续性,F(x0)F(x),若函数Fx)满足上述三条性质 则它一定是某个随机变量X的分布函数,说明,三、分布函数,定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F
4、(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x),分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质,若x1 x2 则F(x1)F(x2),(1)单调性,(3)右连续性,F(x0)F(x),因此 通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数,F(x)PXx,解,当xb时,F(x)PXx0,当xa时,当axb时,F(x)PXx,综上 可得X的分布函数为,四、离散型随机变量的分布函数,X只有两个可能取值 其概率分布为,解,于是 当x0 时 F(x)PXx0,当0 x1时,F(x)PXx,当x1时,F(x)PXx,PX0PX11,综上 X的分布函数为,四、离散型随机变量的分布函数,
5、X只有两个可能取值 其概率分布为,解,离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值保持不变 反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率,四、离散型随机变量的分布函数,由于F(x)是一个阶梯形函数 故知X是一个离散型随机变量 F(x)的跳跃点分别为1 2 3 对应的跳跃高度分别为,解,故X的概率分布为,五、连续
6、型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数,五、连续型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数,密度函数的性质,密度函数具有下列性质,(1)f(x)0 x(),说明 反过来 可以证明 一个函数满足上述两个性质 一定可以作为某一连续型随机变量的密度函数,五、连续型随机变量及其概率密度,定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得,并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数,事件的概率与密度函数的关系,(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 PXx0(213),(1)连续型随机变量X落于区间(a b上的概率为,X的密度函数为,解,在xa和xb处 F(x)的导数不存在 可补充定义这两点的密度为,
