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1、作业题评讲,解,作业题评讲,故X,Y不独立。,64页例4 设(X,Y)的密度函数为,二维连续型随机变量及其密度函数,求(1)C的值;(2)边缘密度函数.,解,二维连续型随机变量及其密度函数,（一）随机变量的数学期望,1.离散型随机变量的数学期望,2.连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则,随机变量的数字特征,Review,3.随机变量函数的数学期望,（1）X为随机变量，Y=g(X),离散型：,连续型：,(2)(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y),离散型：,连续型：,作业题评讲,解,作业题评讲,数学期望的性质,1.E(C)=C,2.E(aX)=a E(X),3
2、.E(X+Y)=E(X)+E(Y),4.当X,Y 独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).,线性性质,（二）方差,1.定义 D(X)=E X-E(X)2,标准差：,2.计算,(2)离散型：,(3)连续型：,随机变量的数字特征,(1)计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).,方差的性质,(1)D(C)=0;,(2)D(CX)=C2D(X);,(3)若X,Y相互独立,则,D(X+Y)=D(X)+D(Y).,D(X-Y)=D(X)+D(Y).,例1,解,随机变量的数字特征,已知随机变量 X 的分布律为,求D(X).,随机变量的数字特征,解,随机变量的数字特征,例3 设Xb(n,p),求E(X),
3、D(X).,解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令,且Xi服从0-1分布，则,又Xi之间相互独立，,随机变量的数字特征,例4 已知标准正态分布N(0,1)的期望是0，方差是1。设XN(,2),求E(X),D(X).,解,随机变量的标准化：,常见分布的数学期望与方差,问题 对于二维随机变量(X,Y):,联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系该用一个怎样的数去反映这种联系呢？,数,能反映随机变量 X,Y 之间的线性关系,4.4,协方差的概念,为 X,Y 的协方差.记为,称,为（X,Y）的协方差矩阵,定义,协方差的概念,计算公式：cov(X,
4、Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,例5(X,Y)分布律如下，求cov(X,Y),协方差,解 X,Y的分布律分别如下：,例5(X,Y)分布律如下，求cov(X,Y),协方差,例6,协方差,解,1.cov(X,X)=D(X),5.当X,Y 独立时，cov(X,Y)=0.,对称性,协方差的性质,2.cov(X,Y)=cov(Y,X),3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y),6.cov(C,X)=0,4.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y),而当cov(X,Y)=0，X,Y并不一定独立.,X,Y线性不相关,7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)
5、,D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y),为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差,相关系数的概念,若D(X)0,D(Y)0,称,为X,Y 的 线性相关系数，记为,相关系数,1.|XY|1,2.当X,Y 独立时，XY=0.,相关系数的性质,3.|XY|越大，则X,Y 线性相关程度越好,当|XY|=0时，X,Y 并不是一定没有关系，而是线性不相关。,逆命题不成立,4.(X,Y)N(1,2,12,22,),就是X,Y 的相关系数，XY=.,正相关,负相关,正弱相关,负弱相关,线性不相关,相关系数与随机变量的线性相关性,例7 设(X,Y)N(1,4,1,4,0.5)
6、,Z=X+Y,求 XZ,解,协方差与相关系数,例8 U-,X=sin,Y=cos,X,Y是否相关，是否独立？,相关系数,解,证明(1),于是XY=0，所以 X与Y线性不相关。,例9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。,例9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,n维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布，则Xi都是一维正态；若Xi是一维正态，且相互独立，则X1,X2,Xn服从n维正态。,多维正态分布的重要性质,n维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布的充要条件是X1,X2,Xn 的任意线性组合都服从一维正态。,对n维正态分布来说，独立与线性相关是等价的。,例10 设随机变量X和Y相互独立，且XN(1,2),YN(0,1)。求 Z=2X-Y+3 的概率密度。,知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且,解 由XN(1,2),YN(0,1)，且X与Y相互独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2-0+3=5，,故，ZN(5,32).,多维正态分布的重要性质,Z 的概率密度为,多维正态分布的重要性质,定义1,定义2,原点矩与中心矩,说明,原点矩与中心矩,
