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1、模糊计算及其应用,绪论模糊集合与模糊关系模糊推理系统,绪论,模糊逻辑的发展模糊逻辑与计算机模糊逻辑与人工智能,模糊逻辑的发展,一、模糊逻辑的起源 模糊逻辑-Fuzzy Logic 模糊概念、模糊现象到处存在。-模糊概念导致模糊现象-模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。术语来源Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的 模糊，不分明，不齐，不晰,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,Fuzzzy的现象或概念存在于日常生活中。世界上的现象，Fuzzzy性是绝对的，而清晰性或精确性是相对的。,经典二值（布尔）逻辑在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类都被假定为有明确的边界；（突变）任
2、一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不属于这一类；一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非真非伪的情况。（确定）,模糊逻辑对二值逻辑的扩充。关键的概念是：渐变的隶属关系。一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变）一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分伪。（不完全确定）,模糊逻辑是通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具。模糊逻辑本身并不模糊，它并不是“模糊的”逻辑，而是用来对“模糊”（现象、事件）进行处理，以达到消除模糊的逻辑。,经典（二值）逻辑的数学基础：通过常规集合来工作的。常规集合：集合中的对象关系被严格划分为0或1，不存在介于两者之间的对象。（1-完全属于这个集合；
3、0-完全不属于这个集合）,模糊逻辑的数学基础：通过模糊集合来工作的。模糊集合：允许在一个集合部分隶属。即 对象在模糊集合中的隶属度可为从0-1之间的任何值。即可以从“不隶属”到“隶属”逐步过渡。,二、模糊逻辑技术的发展和现状 1960年柏克莱加州大学电子工程系扎德（）教授，提出“模糊”的概念。1965年发表关于模糊集合理论的论文。1966年马里诺斯（）发表关于模糊逻辑的研究报告。以后，扎德（）又提出关于模糊语言变量的概念。1974年扎德（）进行有关模糊逻辑推理的研究。,七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应用研究：实现了第一个试验性的蒸汽机控制；热交换器模糊逻辑控制试验；转炉炼钢模糊逻辑控
4、制试验；温度模糊逻辑控制；十字路口交通控制；污、废水处理等。,八十年代日本情况：列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能1114%；汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）；港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制；家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空调、电冰箱等）。,中国：在模糊理论和应用方面的研究起步较晚，但发展较快：1976年 起步1979年 模糊控制器的研究1980年 模糊控制器的算法研究1981年 模糊语言和模糊文法的研究,1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制、开关式液压位置伺服系统模糊控制研究1984年提出语义推理的自学习方法1986年单片微机比例因子模糊逻辑控 制器1
5、987年我国第一台模糊逻辑推理机,1990年起：工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回转窑、PVC树脂聚合过程、功率因数补偿等。自然科学基金重大项目：“模糊信息处理与机器智能”“模糊逻辑控制计算机系统”等。,目前模糊逻辑控制技术在工业控制、家电领域有很好发展开展模糊信息处理方面的基础研究和理论研究开发专用模糊控制电路和模糊推理芯片等。,电脑和人脑 电脑扩大并延伸了人脑的功能，但两者存在重大差别：如 工作方法 智能性 语言 可靠性 等方面。,模糊逻辑与计算机,1.工作方法 传统的冯 诺依曼计算机：连续串行的微观工作方式；人脑：串并行的工作方式。,2.智能性 计算机的人工智能：建立在对精确符号系
6、统的数据处理上。人脑的自然智能：接受的信号具有某种不确定性。用统计方法处理（具有模糊性）。,3.语言 计算机：使用的是精确、形式化的数学语言或程序语言；人脑：可以使用具有模糊性或歧义性的自然语言。,4.可靠性 计算机：计算具有高精度的特点。但对事物整体把握的可靠性不如人脑。人脑：低精度条件下完成非常复杂的任务，达到相当高的可靠性。,电脑思维和人脑思维 两种思维模式精确的理性的分析模式 与读、写、算相联系；模糊的直觉的全盘模式 与模式识别和艺术能力有关。允许以不精确、不确定、非定量的自然语言，对复杂多变的事物或现象进行思维。,人脑的思维具有上述两种模式；计算机不具备后一种模式能力；要使计算机进一
7、步模拟人类思维的特点，可以引入模糊逻辑！,人工智能（AI-Artificial Intelligence）新兴的边缘学科。人工智能主要研究：如何使计算机完成原来由人才能做的具有智能性质的工作，即感知观察能力、记忆能力、逻辑思维能力和语言表达能力等一系列人的脑力活动中所表现出来的能力。人工智能是许多相关技术的总称，包括专家系统、机器学习、神经网络、模式识别、模糊逻辑技术等等。,模糊逻辑与人工智能,传统的数字电子计算机以二值逻辑为基础，建立在加法和移位基础上的各种计算能力是它的特长。对确定性问题具有逻辑推理能力，有很高的速度、精度和效率。但是，没有创造性思维的能力。因此，不可能以二值逻辑来模拟人的
8、复杂的思维进程。,模糊逻辑与专家系统专家系统是一种信息系统。专家系统中的知识库中的知识由专家提供。其中罗列了大量的规则和事实。专家系统可分为：传统专家系统和模糊专家系统。,传统专家系统如果前提是真，则规则被激活;规则要么被激活，要么不被激活;对一组输入仅有一个规则被激活，且这个规则将完全控制该专家系统的输出。,模糊专家系统如果前提是非零值，即某种程度的真，则规则即被激活;规则可以不同程度地被激活;通常对于给出的一组输入，可有不止一个规则被激活。其专家系统的输出可能是几条规则结果的合成。,模糊逻辑与神经网络神经网络是被相互连接起来的处理器节点组成的矩阵。每一个节点是一个神经元，简单近似模拟了人的
9、大脑神经细胞的结构。每一个神经元接受一个以上的、且与相应加权因子相乘的输入，并相加后产生输出。,神经元被分层安排 第一层接受基本输入，传递其输出到第二层；第二层又有自己的加权因子和代数和，传递至第三层 直至最后一层，产生输出。,神经网络与传统方法进行信息处理有两个完全不同的性质：神经网络是自适应和可被训练的，有自修改的能力；神经网络的结构本身就意味着大规模平行机制。,模糊逻辑技术与神经网络技术相结合，可以形成一个互补的系统：神经网络的关键特性和基本限制是：神经网络有自学习功能和平行工作的特性。但所知的信息是隐含的，安排每一个输入的权重是关键。模糊逻辑系统所具有的“知识”由该领域的专家所提供。其
10、模糊逻辑控制规则是由人的直觉和经验制定。有逻辑推理能力，但不具有学习功能。,因此，模糊逻辑技术与神经网络技术各有长处和局限性，两者相结合，可构成模糊神经网络等，能各取所长，共生互补。,模糊数学的创立及发展,“模糊”Fuzzy不分明“乏晰”复杂性与精确性的矛盾“不兼容原理”-科学的深化意味着研究对象的复杂化，而复杂的东西 又难于精确化。计算机计算速度存储能力判断、推理有时不如人脑,模糊数学的创立及发展,Zadeh 扎德教授 加州大学1965年，模糊集合论“隶属函数”“模糊数学”的诞生1976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂
11、志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一（美国、西欧、日本、中国）,模糊数学的创立及发展,随机性与模糊性之区分随机性事件本身具有明确含意事件的出现具有不确定性0,1上概率分布函数描述模糊性事物的概念本身是模糊的概念的外延的模糊不确定性：模糊性0,1上的隶属函数描述,量确定性经典数学不确定性随机性统计数学模糊性Fuzzy 数学,模糊集合和模糊关系,模糊集合及其表述模糊集合的运算和隶属函数的参数化二维模糊隶属度函数及其运算规则模糊关系与复合运算,集合的概念为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分类。用于这种分类的数学工具就是集合论。解决精确性的集合问题可
12、以用经典集合论。世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。,一、模糊集合及其表述,经典集合：具有某种特性的所有元素的总和。模糊集合：在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。,集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展，是模糊数学的基础经典集合论：任意元素和任意一个集合之间的关系是“属于”和“不属于的”；强调精确性模糊集合论是用“隶属度“来表示的；强调模糊性经典集合表示“非此即彼”模糊集合表示“亦此亦彼”,经典集合集合是数学中最基本的概念之一。讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。,所谓集合，是指具
13、有某种特定属性的对象的全体。定义：给定论域U（U、V、X、Y），U中具有某种特定属性的元素（u、v、x、y）的全体，称为U上的一个集合(A、B、C、)。,表示集合的几种方法（1）列举法：列写出集合中的全体元素。适用于元素有限的集合。（2）定义法：以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。适用于有许多元素而不能一一列举的集合。,3、模糊集合常用术语及其表述,模糊集合和隶属函数精确集合（非此即彼）：A=X|X6精确集合的隶属函数（特征函数）：,模糊集合：如果X是对象x的集合，则X的模糊集合 A：,称为模糊集A的隶属函数，0 1,隶属函数的性质：a)定义为有序对；b)隶属函数在0和1之间；c)其值的确
14、定具有主观性和个人的偏好。,X称为论域或域。,构造模糊集就是要：确定合适的论域和指定适当的隶属函数。,1,13,精确集合,模糊集合,1,13,6,例1 设F表示远远大于0的实数集合，则它的隶属度函数可以用下式来定义,可以算出u(5)=0.2；u(10)=0.5;u(20)=0.8；表示5属于大于零的程度为0.2，也就意味5算不上是远远大于0的数。,模糊集的表示,若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以有以下三种表示方法：1、查德表示法即：,例1 考虑论域U=0,1,2,10和模糊集F”接近于0的整数“，它的隶属度函数表示法,2、“序偶”表示法：,3、“向量”表示法:,论域的二种形式：1
15、）离散形式：举例：X=上海 北京 天津 西安为城市的集合。模糊集合 C=“对城市的爱好”可以表示为：C=(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6)又：X=0 1 2 3 4 5 6为一个家庭可拥有自行车数目的集合模糊集合 C=“合适的可拥有的自行车数目”C=(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)（序偶表示法）,2)连续形式:,令X=R+为人类年龄的集合,模糊集合 B=“年龄在50岁左右”，则B可表示为:,图示:,模糊集合的公式表示(Zadeh表示法),注意:,并非求和和积分符号。,上述三个例子分
16、别可写为,C=0.8/上海+0.9/北京+0.7/天津+0.6/西安,C=0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6,/不是除法运算,集合运算,模糊集合是利用集合中的特征函数或者隶属度函数来定义和操作的，A、B是U中的两个模糊子集，隶属度函数分别为,模糊集的截集从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”,分解定理模糊集用普通集合表示,可以看到，当从1下降到0的时候，就是从KerA逐渐扩展为SuppA，因此，F集A可以看作是普通集合族|0,1,数积的定义：模糊集合的数积：设0,1，A F(U)，记(A)(u)=A(u)则称A为与A的数积。,分解定理模糊集用截集表示：分解定理1
17、,定义2-2 论域U中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作F(U)，即,对于任一,若,若,，则称A为空集,，则称A=U为全集。,支集,核,截集,交叉点,模糊单点,凸性,普通函数凸的定义:,它的定义比模糊凸的定义严格,语言变量,5元组为特征,正态性 如果模糊集A的核非空，则A是正态。换句话说，总可以找到一个点，使。模糊数 模糊数A是实轴R上的一个模糊集合，并且满足正态性和凸性。,二、模糊集合的运算和隶属函数的参数化,包含或子集：,并（析取）,交（合取）,补（负）,隶属函数参数化,1.三角形隶属函数,参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。,参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。
18、当b=c时，梯形就退化为三角形。,2.梯形隶属函数,3.高斯形隶属函数,高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。,4.一般钟形隶属函数,参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。,trig(x;20,60,80),trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),隶属函数的参数化举例：,以钟形函数为例，,a,b,c,的几何意义如图所示。,改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。,三、二维模糊隶属函数及其运算规则,1）一维模糊集合的圆柱扩展,2）模糊集合的投影,定义：如果一
19、个二维MF可以表示为两个一维MF的解析式，则它是复合的，否则是非复合的。,3)复合二维MF和非复合二维MF,复合式,非复合式,复合二维MF可由两个一维MF经max(OR)和min(AND)运算集结。,梯形trap(x,-6,-2,2,6)和trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算,钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算,是函数T的二元算子，称作T-范式（三角范式）算子，并且满足以下四条性质：,4)更一般化的模糊交、并、补运算,(1)三角范式运算：,二个模糊集合A和B的“交”用如下函数确定,4个最常用的T-范式算子：,4个T范式算子以a,
20、b为自变量的表面图,(2)协三角运算 S范式,二个模糊集合A和B的“并”用如下函数确定,是函数S的二元算子，称作T-协范式（协三角范式）算子或S-范式，并且满足以下四条性质：,4个最常用的S-范式算子：,4个S-范式算子以a,b为自变量的表面图,(3)一般化的模糊补算子可定义为如下函数形式,第一种选择模糊补的方法，要求满足以下2条,第二种选择模糊补的方法，要求满足对合条件，即,显然，满足对合条件的函数N，必然关于连接(0,0)和(1,1)的直线对称。,5)模糊隶属函数的修正（Hedges),四、模糊关系与复合运算,精确关系,模糊关系,同一空间,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否
21、存在。,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。,举例,同一空间模糊关系复合运算：,或,举例,非同一空间模糊关系复合运算：,精确关系,模糊关系,不同乘积空间，但有一个公共集合的二个关系复合定义为：,不同乘积空间，但有一个公共集合的二个模糊关系P(U,V)和S(V,Z)定义为：,当U,V,W是离散论域时，Sup(取上界)变成取极大运算,非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：,举例,1,2,3,a,b,0.4,0.2,0.8,0.9,0.9,0.2,0.5,0.7,X中元素2和Z中元素a通过二二连接建立的路径，选择连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计算而得。,图示：,Y,模糊关系隶属函数的计算,或,
