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1、二体问题,两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又分为束缚问题与散射问题两大类。这里先介绍二体散射问题，包括碰撞、合并和分裂问题。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。,处理这类问题的思路如下：1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽略，因而系统动量守恒。即系统质心的速度、动量和动能守恒；2.机械能是否守恒问题，应作如下考虑：（1）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机械能就是动能。（2）按科尼希定理，系统动能Ek=系统质心动能EC+系统相对于其质心的动能。由于EC
2、是守恒量，问题化为系统在质心系内动能是否守恒的问题。,二体直线运动系统在C系中的动能表示式,在C系中，C点的坐标恒为零：,L系,C系,m1,m2 在两个坐标系中的坐标：L系：x1,x2C系：1，2,(3),即(3）式的分子为零：,（4）,其时间导数也为零：,（5）,在L系中，质心坐标为：,质心速度为：,（6）,（7）,由（2）式 和(5)式联立解出两物体在C系中的速度：,引入折合质量:,（10）,（8）,（9）,两物体在C系中的速度简化为：,系统在C系中的动能便是：,（11）,重要结论：二体系统在C系中的动能，等于一个等价质点的动能该质点质量为折合质量，速率为二体相对速度。(11)在二体问题中
3、应用甚广。,将（11）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：,1.相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰撞；变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞；在合并问题中，减为零，机械能损失最大。此称完全非弹性碰撞；4.在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；,质心在L系中的动能,守恒部分,系统在C系中的动能,可变部分,系统在L系中的动能,例题2.,质量为m的子弹以速度 沿水平方向射入静止悬挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量为M.求系统的机械能变量E.,解.这是合并问题。子弹钻入沙袋前瞬间，系统动能为,子弹钻入沙袋后瞬间，系统动能为,机械能变量,在合并过程中，系统机械能变
4、小。损失部分转化为非机械能。,机械能变量,验证：系统初始动能：,子弹钻入后系统速度：,系统碰后动能：,证毕,李长江：p23，1.3.5,（2）代入（1）：,解(1).若N个人同时跳下,已知人对车的跳下速度 沿铁轨向左。,第k个人跳车时他对地面速度为,解(2).若N个人逐个跳下,设第k-1个人跳车后车速为,第k个人跳车后车速为,第k个人跳车后的瞬间,第k个人跳车后的车速,由动量守恒知：,（k=1,2,3N）,设定 的正方向都是由左向右（的投影应为负值：）,由上式解出递推关系：,递推关系使我们得以从前一个vk-1值推得后一个vk值。现在我们来用它推得所求结果：,k=1:,k=2:,k=3:,k=4
5、:,k=N:,将以上N个等式相加，左边给出vN，即第N个人跳车后的车速；右边是一个有限项级数和：,负号表示v车与vr反向。,本题结束,关键：设所有速度沿x正向为正,第20届：一、2（填空）,三体完全弹性碰撞问题,过程：1球撞击2球后静止，2球以速度v0 向右行进，然后撞击3，4球,问题：撞击完3，4球后，2球是否回弹？,解：,在xoy平面上，碰撞前后动量守恒,x方向,y方向,碰撞为完全弹性，前后机械能守恒,几何关系,7个方程，7个未知数，问题可解,结果：,方向向左。,本题结束,李长江：p6，1.1.13,1.解:取小球a,b和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取O点为势能零点，则
6、有：,(1),由（1）解出速度与位置的关系：,随着 变小，v和T将变大，当T=mg时，a球开始离地。b球的绳张力满足：,将(2)和T=mg代入上式，解出：,本题结束,（2）,第29届：15题,解,轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球绕圆心的角动量守恒,绳拉直瞬间,（1）,v1,v2为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，机械能不受损失，则有：,（2）,解,（1），（2）联立求出两套解,绳作用后,舍去第一套解（初态），第二套解代表两球速度都改变了方向,解,绳提供的冲量为前后动量差，绳给1的冲量的切向分量为：,绳给2的冲量的切向分量为：,（3）,（4）
7、,两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向,绳作用后,解,绳给2的冲量的切向分量为：,这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为,绳作用后,（1）答案,解,绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。,绳拉直瞬间,R,球1停止时,解,绳拉伸过程中，机械能守恒,（5）,绳拉伸过程中，角动量也守恒,（6）,（5）、（6）两式消去v2，再令,得,（2.1）答案,球1停止时,解,两球在距离2R以后，球1停止后开始加速，球2沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部,球1停止时,解,球1停止时,从题图开
8、始到绳长为R所经过的时间为,（7）,（8）,由题意，上式可写成,（9）,解,球1停止时,（10）,v1、v2必须满足角动量守恒方程（6），把（6）代入（8）式，又得到：,（6）,（11）,解,球1停止时,由绳长为2R到两球碰撞的过程中，整个过程为绳长由0到2R过程的逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（7）和（11）式得：碰撞时刻为,（11）,（7）,（2.2）答案,非惯性系惯性力,惯性系：牛顿运动定律成立的参考系,非惯性系相对惯性系的加速度,非惯性系：牛顿运动定律不成立的参考系,凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系,相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系,牛顿定律不成立的参照系称为非惯
9、性系,相对于惯性系作加速运动的参照系是非惯性系,惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解非惯性系问题,质量为m的物体在非惯性系中受到的惯性力,物体实际受到的力,非惯性系中牛顿运动定律写成：,这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例如加速的汽车中的乘客。,物体相对非惯性系的加速度,惯性力,1.当物体不受任何力时：,上式成为：,2.当物体受力恰好为：,上式成为：,表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力，例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。,第25届，3,解(1).系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上,此时车厢加速度只对B有影响,对A滑块有：,对B滑块有：,设B运动的正方向沿
10、+x，则,重力加速度,车厢加速度,绳对A的拉力,两滑块加速度相等,绳对B的拉力,对A滑块有：,对B滑块有：,消去T 得：,（1）答案,结论：当车厢向上加速时，B相对车厢的加速度比车厢静止时要大,解(2).B与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右,此时车厢加速度对A和B都有影响,对A滑块有：,惯性力，其中,其中,两物静止：,对B滑块有：,惯性力，其中,其中,由上面各式得B滑块满足：,（4）式中f 是使B与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，对于正压力N，f 的上限为N，当所需的摩擦力超过N时，B与桌面侧面将发生滑动。即：,把（4）、（5）代入上式解得：,本题结束,火箭问题变质量+动量守恒,1.喷射燃
11、料使质量不断减少-质量不守恒,火箭：,2.燃料相对火箭以恒速率喷出,设火箭在某时刻：,下一时刻：,（相对火箭）,前一时刻动量：,后一时刻动量：,前后动量增量：,牛顿定律：,F是火箭飞行时受到的总外力。例如地球引力。如果F可忽略，方程变为,火箭单位时间内喷出的燃料,燃料喷射时，火箭质量减少，因此,方程变为,有外力时,无外力时,火箭方程,第26届：15,题意：,无外力：,解,飞船启动时,燃料用尽时,（1）飞船加速度的最小和最大值,由火箭方程：,两边积分,（2）飞船末速度,（3）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率,t时刻,t+dt时刻,发动机在dt时间内使火箭+喷出的燃料的动能带来的变化
12、,发动机提供的能量转化为飞船的动能+燃料的动能！,二者相减,功率,火箭方程,（4）发射效率,两边积分,由（2），飞船的末动能,此为燃料全部耗尽所做的总功,发射效率,由前面的结果,发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出的燃料获得。,（5）=MR/M0为何值时，最大,求导数,令导数为零得满足,465%,本题结束,连续体引力问题：,万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在很多方面满足同样规律。,引力势：万有引力的势能表达式为：,若讨论m在M势场中的运动，可定义引力势：,则m在M引力势场中所具有的势能为：,（1）,（2）,该式立即变回（1）。,类似地，可定义引力场强度：,该式立即变回万
13、有引力定律的原始形式：,（3）,（4）,式中 是由M指向m方向的单位矢量。则m在该势场中受力为：,与静电场中的高斯定理类似，把（3）对同心球面S作积分：,M为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多个质量M1、M2、和任意曲面以及连续体情形,（5）,例：质量为M的气体均匀分布于半径为R的球形空间中。求质点m在球体内部和外部的受力和势能。,m在球体内部，rR，做同心球面r过m，球面r内包围质量为,由（5）及球对称性，此时（5）左边为：,右边为：,（5）,同理可得m在球体外部，rR时：,右边=右边，有：,m受力为：,该力指向圆心,与把所有质量M集中于球心时等价：,第24届：5,第24届：5,P,R/
14、2,v0,R,y,x,P在气体内部，所受引力指向圆心，其值为：,初始时，P所具有的势能为：,第24届：5,P,R/2,v0,y,x,忽略阻力，P的机械能守恒，设在气体边缘处P的速度为v，则有：,P不逸出气体外要求P在气体边缘时,由于P只受有心力作用，对力心的角动量守恒：,即,，代入（1）解得：,（1）,第一空,P,R/2,v0,y,x,P在x和y方向上作简谐振动，振动方程写为：,初始条件为：,角频率为：,（2）,P,R/2,v0,y,x,两方程消去t得：,第二空,李萨茹图：,第23届：15,伯努利关系：对不可压缩流体,压强,密度,重力加速度,高度坐标,对本题：在水面处,因此，在深度h处,水喷射到水桶外部时，压强为空气中压强，与水面处一样,上式变为,后面自行推导,本题结束,
