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1、,第 六 章 理想流体的平面无旋运动,引言,在理想无旋流的条件下，进一步探讨流体运动微分方 程的求解。论述势流理论的基本内容，引出不可压缩流体平面流 动的流函数概念，重点讨论不可压缩流体平面无旋流 动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的 方法。,第六章 理想流体的平面无旋运动,第一节 无旋流动的势函数,第六章 理想流体的平面无旋运动,1 无旋流动的势函数,在无旋流动中：,存在函数：,第一节 无旋流动的势函数,函数 称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，称为有势流动，简称势流。,无旋流动必然是有势流动！,速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数。,势函数的性质：,第一节 无旋流
2、动的势函数,势函数是调和函数,不可压缩流体的连续性方程为：,第一节 无旋流动的势函数,练习,已知：不可压缩流体的流速分量为：,问：是否满足连续性方程？是否无旋流？求速度势函数。,第二节 平面无旋运动,第六章 理想流体的平面无旋运动,1 流函数,在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为：,存在流函数：,一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数。,第二节 平面无旋运动,流函数的性质：,（1）等流函数线即是流线。,流线,（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。,第二节 平面无旋运动,（3）平面势流的流函数是调和函数。,2 无旋流动,（1）势函数为调和函数。,（
3、2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。,第二节 平面无旋运动,3 流函数与势函数的关系,（1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。,（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交。,第二节 平面无旋运动,4 平面无旋运动的流网,流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。,流网的性质：,组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与 等势线互相垂直。,网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之 比；如取 则网格成正方形。,第二节 平面无旋运动,流网内任一点A，的增值方向与 方向一致；的增值 方向为 方向向正 y 轴
4、旋转90后所得的方向。,第三节 基本平面势流,第六章 理想流体的平面无旋运动,1 均匀直线运动,流场内速度的大小和方向均为常值的流动。实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。,特例：,若，则,若，则,极坐标表示？,第三节 基本平面势流,2 点源及点汇,（1）点源,设某平面有一产生流体的源泉O，流体自源泉O点流出后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。,实例：泉眼向各方的流动；离心式水泵叶轮内的流体运动。,第三节 基本平面势流,第三节 基本平面势流,极坐标表示为:,第三节 基本平面势流,（2）点汇,当产生流体的源泉O改为吸收流体的汇聚点O，
5、四周流体均匀的向汇聚点集中，这种运动叫着点汇运动。点汇运动与点源运动仅符号相反。,实例：地下水向井中的流动。,极坐标表示为：,第三节 基本平面势流,注意：,点源和点汇的流函数 并不是单值的，因为 从 出发回转一圈到起始点，这时的 值并不等于零而是 等于，因此流经包围源(或汇)点的任何封闭曲线 上的流量并不等于零。,因为当 时，点源和点汇的速度势函数 和速度 均为正无穷大或负无穷大，源点或汇点是奇点，所 以速度势函数和速度的表示式只有在源点或汇点以外才 能使用。,第三节 基本平面势流,3 点涡,流场中各流体质点均绕某点O以辐向流速（c为常数）作圆周运动，因而流线为同心圆簇，而等势线则为自圆心O发
6、出的射线簇，这种流动称为点涡(环流)。,实例：自然界中龙卷风；离心式水泵;离心式除尘器等。,第三节 基本平面势流,极坐标表示为：,第四节 势流的叠加,第六章 理想流体的平面无旋运动,1 势流叠加原理,几个简单势流叠加组合成的较为复杂的流动仍为势流（复 合势流），且各函数间的关系如下：,第四节 势流的叠加,2 源环流动,点源流动与点涡流动叠加。,实例：容器底部小孔旋转出流，旋风除尘器、旋风燃烧室、离心式水泵叶轮内流体。,第四节 势流的叠加,流线是一簇对数螺形线；等势线是与流线正交的螺形线。,流线方程为：,等势线方程为：,3 偶极流,偶极流是把源点及汇点间距无穷小的等强度点源和点汇叠加起来形成的流
7、动。,设点源（Q）与点汇（Q）间的距离为2a，则任意点M的速度势为：,第四节 势流的叠加,第四节 势流的叠加,若存在（M为偶极强度），这样的源汇点叫偶极点。,第四节 势流的叠加,流线方程为：,偶极流的流线是一族圆心在 y 轴上的圆族，并在坐标原点与 x 轴相切；等势线是一族圆心在 x 轴上的圆周族，并在坐标原点与 y 轴相切。,第四节 势流的叠加,4 均匀直线流中的偶极流圆柱绕流,偶极点在坐标原点的偶极流与沿 x 轴的均匀直线流（）叠加而成。,实例：河水流过桥墩，风吹过烟囱。,流线方程为：,其中，零流线方程为：,解零流线方程得：,零流线是由 x 轴和圆心在坐标原点，半径为 的圆组成。,第四节 势流的叠加,
