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1、2.3 拉普拉斯方程 分离变量法,1、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用 拉普拉斯方程。,一、拉普拉斯方程的适用条件,2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。,一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程,二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式,1、直角坐标,（1）令,令,（2）若,注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，只有对它们
2、取和后才得到通解。,柱坐标,3球坐标,缔合勒让德函数（连带勒让德函数）,-为勒让德函数,三解题步骤,根据具体条件确定常数,选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；,分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；,（1）外边界条件：电荷分布有限,注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷 Q，或给定。,（2）内部边值关系：介质分界面上,一般讨论分界面无自由电荷的情况,四应用举例,1、两无限大平行导体板，相距为，两板间电势 差为V(与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和。,(4)定常数：
3、,x,y,z,V,解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；且当,（3）确定常数 A，B，C，D，k,通解,（m=奇数）（m=偶数）,令,解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r=a 处，即 选柱坐标系。,对称性分析：,4如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。,解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选,若将Q移到壳上，球接地为书中P48例题,（3）确定常数,在导体壳上,（5）球壳上的感应电荷,壳内面,以上结果均与高斯定理求解一致。,补充题1长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为，其余接地，求盒内的电位分布。,补充题2无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为，另一半电位为，求圆筒内的电位分布。,答案：,注意：,答案：,补充题4有一半径为 a 的无限长圆柱导体，柱轴沿 方向，沿 方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布（球外为真空）和面电荷分布（令柱面处电势为零）。,
