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1、,第1章 矢量分析,如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。,1.1 矢 量 代 数,矢量既有大小，又有方向。矢量 A 可以表示为 A=e AA，其中 A 表示矢量 A 的大小，eA表示矢量 A 的方向。,A=exAx+eyAy+ezAz(1.1)由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。,1.1.1 矢量的加法和减法 两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别
2、相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4),两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5),图1.1 矢量加减法,1.1.2 标量与矢量相乘 标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6),1.1.3 矢量的点积 矢量A与矢量B的点积，写成A B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角余弦的乘
3、积，如图1.2所示，表示为 A B=AB cos(1.7a)AB=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b),图1.2 点积的图示,1.1.4 矢量的叉积 矢量 A 矢量 B 的叉积，写成 AB，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角正弦的乘积，其方向垂直于矢量 A 与矢量 B 组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为 AB=enAB sin(1.8a),图1.3 叉积的图示及右手螺旋,ex ey ez AB=Ax Ay Az(1.8c)Bx By Az,例1.1 已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A B;(2)A与B的夹角;(3
4、)AB。解（1）A B=AxBx+AyBy+AzBz=32+4+4+27=36,(2)A B 36cos=0.80 A B 32+42+22 22+42+72,(3)ex ey ez AB=Ax Ay Az Bx By Az,=ex(4724)+ey(22 37)+ez(34 42)=ex20 ey17+ez4,1.2 矢量场的散度,1.2.1 矢量场的矢量线 矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a）所示。,图1.4 矢量场的矢量线图,1.2.2 矢量场的通量 面元矢量dS定义为 dS=e
5、n dS(1.12),图1.5 矢量的通量图,1.2.3 矢量场的散度 散度的定义 设有矢量场A，在场中任一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即,SA dSdivA=lim(1.16)0,于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为,n的取向有两种情形：一种是面元dS 为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en 取闭合面的外法线方向。,通量=S|A|cosdS=SAdS(1.13
6、)在直角坐标系中，S dS=S(exAx+eyAy+ezAz)(exdSx+eydSy+ezdSz)=S(AxdSx+AydSy+AzdSz),散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积 以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即,1.2.3 矢量场的散度,(1.16),于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为(1.17),为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为(1.18),(1.19),例.已知矢量场 求：（1）（2）计算通量。积分区域为闭合面，为一个球心在
7、原点、半径为 的球面。,解（1）（2）的方向与的方向相同，所以有：,1.2.4散度定理 散度定理也称高斯散度定理，表示为(1.20)式中积分区域 为闭合面S所包围的体积，并假设A及其一阶导数连续。,例1.3 已知 现有一个边长为1的单位立方体，它的一个顶点在原点，如图1.7所示。,图1.7 例1.3图,求：（1）矢量场的散度；（2）计算通量，积分区域为如图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。,解（1）,（2）A从单位立方体内穿出的通量为 分三对面分别计算。,（3）因此，高斯散度定理成立。,1.3 矢量场的旋度,1.3.1 矢量场的环流 设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的线积分为(1.21
8、)上述线积分称为该矢量场A的环流。,称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。,1.3.2矢量场的旋度 A的旋度，记为 或。(1.22)式中 为矢量 在面元矢量上的投影，如图1.8所示。,图1.8 在面元上的投影,(1.24)旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于0。(1.25),1.3.3斯托克斯定理 在矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，即(1.26)式中积分区域面S的外围线为C。,例1.4 已知。现有一个在 面内的闭合路径C，此闭合路径由 和 之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图1.9所示。,图1.9 例1.4图,求：（1）矢量场的A旋度；（2）计
9、算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。,解（1）,（2）,（3）斯托克斯定理成立。,1.4 标量场的梯度,标量场是仅用大小就能完全表征的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。,1.4.1标量场的等值面 等值面就是标量函数 相等的点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。,图1.10标量场图,1.4.2标量场的梯度(1.27)而矢量 为(1.28)称为标量场 的梯度，也可用 表示。梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等值面法向 的变化率。,1.4.3标
10、量场的方向导数,为 沿 方向的变化率，称为标量场 沿 方向的方向导数。(1.29),例1.5 已知标量场。求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向 的方向导数。,解 由梯度公式(1.28)有,方向的单位矢量为,故沿 方向的方向导数为,梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于0。(1.30)在直角坐标系中(1.31),1.5 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理 在空间有限区域内有一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。,如果一个矢量场的旋度为0，则称为无旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为无散场。矢量场的散度对应标量源，称为发散源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源。对于一个无旋场，可以表示为一个标量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场联系了起来。,1.6 常用坐标系,1.6.1直角坐标系（1.35）（1.36）,（1.37）（1.38）,1.6.2 圆柱坐标系,图1.15 圆柱坐标系,（1.47）（1.48）（1.49）,（1.50）（1.51）,(1.53)(1.55),1.6.3 球坐标系,图1.18 球坐标系,（1.63）（1.64）（1.65）（1.66）,
