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1、1.电场力、磁场力、洛伦兹力,4.微分形式的麦克斯韦方程,重点：,第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程,3.麦克斯韦方程的导出及意义,2.电磁场中的三种电流以及电流连续性原理,7.电磁场的能量与坡印廷矢量,5.积分形式的麦克斯韦方程,6.时谐形式的麦克斯韦方程,网络教学平台,2.1 电场力、磁场力与洛伦兹力,1.电场力,库仑定律,适用条件,两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,可推广到无限大各向同性均匀介质中,结论：电场力符合矢量叠加原理,当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗?为什么？,库仑定律还可以换一种方式来阐述：假定电荷q=1C，于是电场力 即为q1对单位电荷的作
2、用力,我们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量,由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。,结论,2.磁场力,当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。,假定一个电荷q以速度 在磁场中运动，则它所受到磁场力为,这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度 来描述。,3.洛伦兹力,当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。,我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。,即,麦克斯韦方程组,静电场：
3、库仑定律、高斯定理、无旋稳恒磁场：洛伦兹力、安培环路定律、无源变化的电场与磁场的规律是怎样呢？变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）变化的电场激发磁场？（位移电流假设）,麦克斯韦方程组,形式,两个公式：高斯定律、斯托克斯定律,2.2 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程,定义,穿过一个单位有向面积dS的力线的条数为电通密度(electric flux density)，用 表示。,在自由空间中，穿过闭合 面积S的电通量为,在一个闭合曲面上，根据高斯定律 有,可得麦克斯韦第一方程：,或,又称为电感强度、电位移矢量,2.3 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程,法拉第电磁感应
4、定律,可得麦克斯韦第二方程：,感应电动势,闭合路径所包围的磁通,根据斯托克斯定律,麦克斯韦第二方程,电磁感应的实质是变化的磁场在其周围空间中激发电场，这是电场和磁场内部矛盾运动的一个方面。感应电场是有旋度的，与静电场不一样。,2.4 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程,磁通连续性原理,可得麦克斯韦第三方程：,穿过开表面积S的磁通,根据高斯定律,1.传导电流、运流电流,此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohms law)，并且传导电流为,自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成,传导电流,2.5 由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程,传导电流的电流密度 与电场强度 的关系为：,形
5、成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。,电荷在无阻力空间作有规则运动而形成,运流电流,假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下，电荷以平均速度 运动，则运动电荷垂直穿过面积S 的运流电流为,式中运流电流密度为,通常，传导电流与运流电流并不同时存在。,2.电流连续性原理,或通过界面流出的总电流应等于S面内自由电量q的减小率,在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿出的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的减小率，即,于是可得,此式称为电流连续性方程-微分形式,其中,3.磁场强
6、度与安培环路定律,静电场的环流为零,稳恒磁场的环流如何呢？,说明静电场是保守场；,对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和环流。,对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。,安培环路定理,与环路成右旋关系的电流取正。,在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭合曲线的线积分（也称 的环流）,等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的0倍。,磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。,安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。,讨论,当电流呈体
7、分布时,定义自由空间用磁场强度 表示的磁通密度为,则安培环路定律可写成,4.麦克斯韦第四方程,在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即,其中,则,由斯托克斯定律得,即,因为,为了解决这一矛盾，麦克斯韦提出位移电流假说,麦克斯韦位移电流假说,麦克斯韦假设,其中 称为位移电流，并把式（*）改为,因为,所以,位移电流表示变化的电场,麦克斯韦第四方程,麦克斯韦第四方程,或,由,麦克斯韦由此预言电磁波的存在。,揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。,位移电流,位移电流,电流连续性方程 可以改写为,或,电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。
8、,解：忽略极板的边缘效应和感应电场,位移电流密度,位移电流,例:已知平板电容器的面积为 S,相距为 d,介质的介电常数,极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么?,电场,传导电流与位移电流,2.6 微分形式的麦克斯韦方程组,将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组。,或,将电场与其场源电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。,第一方程,表明了随时间变化的磁场会产生电场 这是法拉第电磁感应定律的微分形式。,第二方程,表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷磁力线始终闭合。,第三方程,表明了产生磁场的源是电流或变化的
9、电场安培定律的另一种表现形式。,第四方程,2.7 积分形式的麦克斯韦方程组,根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。,转化为,其中引出了三个媒质特性方程,以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。,电流连续性方程,2.8 麦克斯韦方程的时谐形式,时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time
10、harmonic field）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。,微分形式的时谐表示,积分形式的时谐表示,2.9 电磁场的能量与坡印廷矢量,电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流动速率来表示。,麦克斯韦方程组如下,因此,
11、此式称为坡印廷定理,定义式中，,称其为坡印廷矢量,坡印廷定理可写成,用 点乘方程（4）,根据P19页的矢量规则3,坡印廷定理的意义1,由洛仑兹力公式知场对电荷做功的功率密度为（W/m3）,分别为电场和磁场能量密度（J/m3）,的物理意义呢？对（*）在一封闭曲面内积分，看其结果:,坡印廷定理的意义2,定义下式为能量密度（J/m3）,坡印廷定理可改写为,场对电荷做功的功率（W）,电磁场储能增加率（W）,单位时间内通过界面流入封闭曲面的能量(W).所以 的单位W/m2,又被称为能流密度，表示单位时间内流过单位面积的能量,坡印亭定理是电磁场能量的守恒方程。,对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更
12、有实际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为,前面的坡印廷矢量和坡印廷定理都是瞬时的，所以又称 为瞬时坡印廷矢量，,瞬时坡印廷定理,*简谐情况下，能量密度和能流密度是场的二次式，故不能将场的复数形式直接代入，只能带入瞬时值。下面给出一个二次式平均值公式,复数坡印廷矢量1,瞬时形式,复数形式,平均值,而,即,所以,复数坡印廷矢量2,为此定义复数坡印廷矢量为,则,电磁能量的传输,在电磁波情况下，能量在场中传播。,在电路中物理系统的能量包括导线内电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。,电子动能不是供给负载消耗的能量。负载消耗的能量在场中传输的,导线内的电流密度为,一般导体内n=10
13、23/厘米3，若电流密度为1安/毫米2，即106安/米2，而e=1.6*10-19库。代入上式可得v的平均值约为610-5米/秒，由此可见导线内的电子速度很小，相应的动能也很小。,电流和电磁场相互作用，引导电磁能量在场中沿一定方向传输,电磁能量传输中，一部分进入电线内部成为焦耳热损耗，一部分供给负载消耗。,例题：同轴电缆的能量计算,例：同轴电缆内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电流为I，两导线间的电压为U。（1）忽略导线的电阻，计算介质中的能流密度S和传输功率P。（2）考虑导线的电阻，设内导线的电导率为，计算通过内导体表面进入导体内的能流，证明它等于导线的损耗功率
14、。,图 同轴电缆中的电磁能流,解（1）由安培环路定律知,导线表面一般带有电荷，设内电线单位长度的电荷为，由高斯定理得,单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为,由上式求得，代入E 中得,能流密度为,两导线间的电压为,即为电路中的功率表达式，这个功率是在场中传输的,解（2）由欧姆定律知在导线内部有,由于电场切向连续，因此紧贴内导线表面的介质内，电场除了有径向分量外，还有切向分量，即,因此能流S除了沿Z轴传输的分量外，还有沿径向进入内导线内的分量，大小为,流进长度为 的导线内的功率为,上式表示的即为该段导线中的损耗功率，R为该段导线的电阻。,本章要点,Page 4951,本章要点,麦克斯韦方程
15、的形式与意义,？各个方程的意义,？微分形式如何变换成积分形式,？无源时的形式是怎样,？静态场的方程是怎样,本章要点,无源时的麦克斯韦方程的形式,本章要点,静态场的麦克斯韦方程的形式,本章要点,麦克斯韦方程的时谐形式,？-iw和+iw的区别,答：是一种约定。,本章要点,使用麦克斯韦方程求解电磁场,？积分中的待定系数C 是什么，如何处理,本章要点,使用麦克斯韦方程求解电磁场,？积分中的待定系数C 是什么，如何处理,本章要点,使用麦克斯韦方程求解电磁场,？积分中的待定系数C 是什么，如何处理,答：待定系数C 对应的是静待场，无源时做零处理；非无源时，C 由静电荷和稳恒电流决定，采用静态方程求解；一般时C由初始条件确定。,
