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1、2023/11/16,第三章,1,3 恒定电场,电流,恒定电流。,电场中,电荷,有规则的定向运动,恒定电场。,不随时间改变的电流，,2023/11/16,第三章,2,电荷（载流子）在电场的作用下发生宏观运动，形成真实电流这样形成的电流有传导电流和运流电流之分传导电流：在导电媒质（导体、半导体、漏电介质）中，电荷（载流子）的流动形成的。运流电流：真空中或气体中电荷（载流子）流动所形成。可见，传导电流和运流电流都是由真实存在的电荷（正电荷或负电荷，统称为载流子）运动产生。除了这两种电流外还有一种电流称为位移电流。它是变化的电场产生的，它不表示任何带电质点的运动，它遵从麦克斯韦方程组。,2023/1
2、1/16,第三章,3,3.1 电流密度,电流：,单位时间内通过某一横截面的电量。,（3-1）,电流是标量（正、负）。反映的是某一横截面电荷的流动情况。若要研究横截面内某一点的电荷的流动情况，则必须引入以下几个矢量：,2023/11/16,第三章,4,1、体电流密度矢量：,定义：,（3-2）,其中：,为正电荷运动（电流）的方向。,包围被研究的点，垂直于 的面元。,面元上通过的电流。,单位：A/,与时间无关，但 一般与空间坐标有关，即,恒定电场中：,2023/11/16,第三章,5,电流线：,在静电场中，用电力线描述电场分布，在恒定电场中，一般采用则电流线来描述电流密度分布,通过任意面积S的总电流
3、为：,（3-3）,电流可以表示成电流密度的通量的形式。,2023/11/16,第三章,6,在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的面元，则 时间内，穿过 的电荷量为：,（3-4）,故,与运动电荷的体密度 及运动速度 的关系：,2023/11/16,第三章,7,2、面电流密度矢量：,当电流在厚度可以忽略的薄层中流动时，则可以近似认为电流 是在一厚度为零的曲面上流动，从而引入面电流及面电流密度矢量。,定义：,即,（3-6）,2023/11/16,第三章,8,流过任意线段 的电流I：,（3-1-6）,与运动电荷的面密度 及速度 的关系：,在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的线元，则 时间
4、内，穿过 的电荷量为：,（3-8）,2023/11/16,第三章,9,时间内，流过细导线的电荷量为：,若运动电荷的线密度为，其运动速度为。则,3、线电流I：,若电荷沿细导线或空间一线形区域流动，则可将此电流视为沿截面为零的几何线流动的线电流。,2023/11/16,第三章,10,3.2 欧姆定律,静电场中：导体内部电场处处为零。,恒定电场中：,导体内有恒定的电流，因而，导体内的电场为恒定电场。,源外,2023/11/16,第三章,11,1、微分形式：,实验证明：,（3-10）,其中：,电导率：西（门子）每米S/m,在均匀、线性、各向同性媒质中，为一常数。,源外,反映的是导体中某点的导电情况，：
5、,2023/11/16,第三章,12,其中,欧姆定律的积分形式反映的是：一段有限长度为，且横截面 也有限的导体的导电规律。,源外,2、积分形式：,（3-11）,2023/11/16,第三章,13,3、含源欧姆定律的微分形式：,若导体内要维持一恒定的电场（产生一定的电流），则必须有电源存在，在电源内部，正电荷是由负极向正极流动的，即逆静电场方向运动，那么，电源内部必存在另一种力非静电力（非电场力）。,2023/11/16,第三章,14,仿静电场的定义：将非静电力与电荷的比值定义为非库仑场，以 表示。只存在于电源内部。但电源内部同时也存在库仑场（恒定电场）。电源外部则只有库仑场。与 方向相反。,则
6、 含源欧姆定律的微分形式为：,（3-12),源内：为电源内部导电物质的电导率,2023/11/16,第三章,15,4、含源欧姆定律的积分形式：,即,是由分布恒定的电荷产生的，与静电场一样。,21,2023/11/16,第三章,16,电源电动势,物理意义：非静电力将单位正电荷从负极经源内移至正极时所做的功。,而,（3-14）,有源欧姆定律的积分形式,令,2023/11/16,第三章,17,3.2.2 焦耳定律：,1、微分形式：,设电流是由体密度为 的运动电荷以速度 定向运动形成，则 时间内，电场力对体积元 中的电荷 所做的功为,宏观上,导电粒子损失动能,2023/11/16,第三章,18,即,则
7、电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为：,（3-15),焦耳定律的微分形式,2、积分形式：,导电媒质整个体积 V中消耗的功率为：,（3-17）,2023/11/16,第三章,19,一段长为，横截面为S 的导线消耗的功率为：,（3-18）,2023/11/16,第三章,20,例 3-1 p96,2023/11/16,第三章,21,3.3 恒定电场的基本方程,3.3.1、电流连续性方程：,据电荷守恒原理：从任一闭合曲面S流出的电流应等于从S所包围的体积中单位时间内电荷减少的数量。,即,（3-19）,1.积分形式：,2023/11/16,第三章,22,2.微分形式：,应用散度定理：,则电流连续性方程的
8、积分形式可写成：,（3-21）,2023/11/16,第三章,23,电流为无散源,3.3.2 恒定电场的基本方程：,1、恒定电流是连续的：,对恒定电场而言，电荷的空间分布与时间无关。,（3-22）,（3-23）,电流线总是闭合曲线,2023/11/16,第三章,24,2、恒定电场是无旋场：,维持恒定电流的电场为恒定电场。即维持恒定电流的电荷分布是与时间无关的。因而，恒定电场同静电场一样，均是由不随时间变化的电荷产生的。,但恒定电场存在电源外与电源内，我们所说的恒定电场均视为电源外。,故恒定电场无旋：,（3-24）,（3-25）,积分,微分,即,2023/11/16,第三章,25,3、恒定电场也
9、可用电位梯度表示：,（3-26）,4、恒定电场满足拉普拉斯方程（均匀线性各向同性）,即,（3-27）,2023/11/16,第三章,26,3.3.3 导电媒质内的体电荷：,1、恒定电场中不均匀的导电媒质内有体电荷：,据高斯通量定理：,即,若媒质不均匀，则 均与坐标位置有关。,恒定电场：,（3-29）,是在媒质中的电流进入恒定状态之前堆积的。,2023/11/16,第三章,27,2、均匀媒质进入恒定状态之前也有体电荷分布：,据电流连续性方程：,若媒质均匀：,则,即,2023/11/16,第三章,28,积分得：,（3-30）,其中,驰豫时间。,它说明经过 秒后，将减至初始值的,对大多数l导体，很短
10、,例如：铜,它说明：对均匀导体而言，接入电源后，瞬间就能使导体进入恒定状态，最终,2023/11/16,第三章,29,例：在无界非均匀媒质中（电导率和介电常数均是坐标的函数），若有恒定电流存在，证明:媒质中的自由电荷密度为：,证明：,对恒定电流有,即,2023/11/16,第三章,30,而,即,证毕,2023/11/16,第三章,31,3.4分界面上的边界条件,一、电流密度 的边界条件：,1、恒定电流是连续的：,即,2、如图所示，作一闭合曲面S，其侧高,即,上式说明电流密度的法向分量是连续的。,2023/11/16,第三章,32,3、当用电位表示时：,二、恒定电场 的边界条件：,1、恒定电场是
11、无旋的：,2023/11/16,第三章,33,2、如图：作一闭合曲线C，。,则,电场切向分量是连续的。,3、用电位描述时：,电位是连续的。,2023/11/16,第三章,34,三、分界面上电流线的关系：,即,则,（3-33）,2023/11/16,第三章,35,四、讨论：,说明：一般情况下，很小。（除外）。,即电流由良导体进入不良导体时，在不良导体中的电流线近似地与良导体表面垂直。良导体表面为等位面。,即媒质“2”为良导体，媒质“1”为不良导体。,2023/11/16,第三章,36,2、恒定电场中，两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷：,又,只有当 时，,实际上，对两金属导体而言：,故,2
12、023/11/16,第三章,37,例：横截面积为S的平行板电容器上的两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度介电常数、电导率分别为，将电压U加入两极板之间。求：（1）极板间的电流密度；（2）在两种电介质中的电场强度 和；（3）极板上,和介质分界面的。,2023/11/16,第三章,38,又,故,且J与E的方向均为垂直极板由上而下。,2023/11/16,第三章,39,（3）极板上和介质分界面的,2023/11/16,第三章,40,例：有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体内半径为c。两层介质的电容率为 和，电导率为 和，当外加电压为 时，求
13、介质中的电场及分界面上的自由电荷密度。,解：,电流密度的法向分量连续。,2023/11/16,第三章,41,3.5 恒定电场与静电场的比拟,一、对应关系：,电源外的导电媒质中的恒定电场,无电荷分布的电介质中的静电场,相似,下面先来看看其相应公式的对应关系：,2023/11/16,第三章,42,恒定电场（源外）：,静电场：,2023/11/16,第三章,43,故可看出其对应关系：,恒定电场,静电场,2023/11/16,第三章,44,二、静电比拟法：,把一种场的计算和实验所得的结果，推广应用于另一种场的方法称为静电比拟法。,如图：A、B为导体，接于电压为U的直流电源上，其周围为不良导体，属恒定电
14、场问题。但可用静电比拟法来解决此问题。,静电场：导体表面是等位面，处处垂直其表面。,恒定电场：A、B电极表面可视为等位面，线处处垂直其表面。,2023/11/16,第三章,45,三、应用：,计算一球形电容器的电容与电导。设球的内、外半径分别为a、b。,电容：,由定义,则,设球形电容器带电量为q,2023/11/16,第三章,46,电导：,采用静电比拟法：,则,2023/11/16,第三章,47,例3-3：,2023/11/16,第三章,48,例：一个球形电容器的内导体的半径为 a,外导体的内半径为 c,其间填充两种漏电介质，电导率分别为 和，分界面半径为 b,如图，求两个极板间的漏电电阻。,解
15、：设由内导体至外导体的漏电流为 I,则在半径为 r 的球面上，漏电电流均匀分布，,其漏电流密度为：,2023/11/16,第三章,49,其电场强度为：,而内、外导体之间的电压为：,2023/11/16,第三章,50,即,2023/11/16,第三章,51,例：有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体内半径为c。两层介质的电容率为 和，电导率为 和，当外加电压为 时，求介质中的电场及分界面上的自由电荷密度。,解：,电流密度的法向分量连续。,2023/11/16,第三章,52,用静电比拟法求解。,利用高斯通量定理：,设 a r b,同理：b r c,20
16、23/11/16,第三章,53,则,2023/11/16,第三章,54,故,2023/11/16,第三章,55,介质边界 r=b，,2023/11/16,第三章,56,2023/11/16,第三章,57,3.6 接地电阻,一、接地：,1、保护接地：,将电气设备的某一部分和大地相连。,为保证工作人员的安全，并使设备可靠地工作而接地。,2、工作接地：,利用大地作为传输导线，或为消除设备的导电部分对地电压的升高而接地。,3、接地体：,为接地而埋在地内的金属导体或导体系统。,2023/11/16,第三章,58,二、接地电阻：,1、电流由接地体流向大地和电流流经大地时，都 要遇到一些电阻，这些电阻就统称为接地电阻。,2、接地电阻的计算：,深埋地中的接地体：,如图：将接地体与地面视为一个球形电容器，其中,利用静电比拟法，,则,2023/11/16,第三章,59,地表附近的接地体：,由于地面离接地体太近，因而，接地体的边界变得较为复杂，或者说不对称，故常用镜像法求解：,如图：,则,2023/11/16,第三章,60,例：如图所示为一圆弧形金属片，厚度为，电导率为，已知它的边界条件是,求该金属片内的电位、电场强度、电流密度 以及金属片电阻。,解：与 及 无关，可写成：,柱坐标系,解方程得：,2023/11/16,第三章,61,时，,时，,标量,正值,
