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1、直线和平面垂直的判定和性质（习题课）,一、概念回顾：,1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。3、直线和平面垂直的性质：（1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。4、唯一性定理：（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。,例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.,证明：PA=PB，D为A
2、B中点 PDAB，连接CD，D为RtABC斜边的中点 CD=AD,又PAPC,PD=PD PADPCD 而PDAB PDCD,CDAB=D PD平面ABC,例2、如图 平面、相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面、，求证：PQAB,证明：OA PQ OAPQ OB,PQ OBPQ 又OAOB=0 PQ平面OAB 而AB平面OAB PQAB,例3、如图 空间四边形ABCD中，CDBD、CDAD，ABC的平面内有一点P，过P在平面ABC内画一直线与CD垂直，应如何画？说明理由.,解：过P作EFAB即可，由已知可证CD平面ABD 而AB平面ABD，CDAB，又EFAB EFCD,例4、PA平面ABC
3、D，ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：ABMN,证明：连AC，取AC中点O，连MO和NO ABCD是矩形 ABMO 又PA平面ABCD AB平面ABCD PAAB 又由NOPA ABNO AB平面MON 又MN平面MON ABMN,例5、正方体AC1的棱长为a（1）求证：BD平面ACC1A1（2）设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离.,证明：（1）AA1AB AA1AD ABAD=A AA1平面ABCD 又BD平面ABCD AA1BD 又ACBD AA1AC=A BD平面ACC1A1(2)DD1AA1 DD1平面AA1CC1，AA1 平面AA1CC1 DD1平面AA
4、1CC1 P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离,也就是D到平面ACC1A1的距离，设ACBD=O，则即为DO的长度，P到平面ACC1A1的距离为,例6、如图：ABCD是矩形，AB=a，BC=b（ab），沿对角线AC把ADC折起，使ADBC（1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线（2）求BD的长,证明:(1)ADCD，ADBC CDBC=C，AD平面BCD ADBD 且ADBD=D 同理可证：BCBD 又BCBD=B，BD是AD与BC的公垂线.(2)AD=b,AB=a,在 RtABD中，BD=,例7、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2 cm2的菱形，ADC是锐角.求证：PACD,证明：设ADC=，则：由SABCD=2,CD=BC=AB=AD=2，易得=60ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AECD，PECDAECD，PECD CD平面PAE CDPA,
