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1、,几何与代数,主讲:王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,讲座通知,12月15日(本周二)晚上6:30在教三205举办几何与代数讲座，欢迎参加.,上机时间地点通知12.19(本周六)下午2:00到3:30五楼一到四号机房题目本周四上传至课程中心,答疑通知从本周开始每周五上午一至四节课地点：教八400，位于教八四楼西侧 楼梯口,第5章 特征值与特征向量,第1节特征值与特征向量（回顾）,5.1 方阵的特征值和特征向量,特征值,特征向量的概念,设A是n阶方阵,若 A=0(),则称0为A的特征值,称为A的对应于0 的特征向量.,求方阵A的特征值和特征向量的一般步骤：,求解特征方程|EA|=0
2、的根0,求解(0 EA)x=(或(A-0 E)x=)的非零解(只需求出它的一个基础解系1,2,s),1,2,s 即为A对应于特征值0的特征向量,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,一个上(下)三角矩阵的特征值就是其主对角元素。特别地，一个对角矩阵的特征值就是其主对角元素。,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,k是A的一个特征值|kE-A|=0 kE-A不可逆,二.特征值的性质,定理5.1.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,推论 5.1 设矩阵A=(aij)nn 的特征值是1,2,n,则,(2)设0是方阵A的一个特征值,f 是一个多项式,则f(0)是
3、方阵f(A)的一个特征值.,(3)若A是一个方阵,f是多项式使 f(A)=O,(这时称f为A的一个化零多项式),则 A 的任一特征值 0必满足f(0)=0.,注:A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,例如f(x)=x21,性质(1)设0是可逆矩阵A的一个特征值,则 0 0，且0-1 是A-1的特征值.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例 5 设A是3 阶方阵，E A,E+A,2E-A不可逆.A*是A的伴随矩阵.f(x)=x2+x+3.试求 f(A*)的迹和行列式.,第一步 求出A*的特征值；第二步 求出f(A*)的特征值.(与课本例5.5步骤稍有不同),第5章 特征值与特征
4、向量,5.1特征值与特征向量,解：,第5章 特征值与特征向量,第2节相似矩阵,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一.相似矩阵的定义和性质,设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 B=P 1AP,则称矩阵A相似于B.记为AB.P称为相似变换矩阵.,易见,矩阵间的相似关系满足 反身性:AA;对称性:AB BA;传递性:AB,BC AC.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.,第5章 特征值与特征向量,1.AB A与B等价.但反之未必.,注,2.AB,并且 A可逆 A-1 B-1.,3.AB,f是一个多项式 f(A)f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,命题:设AB,f是一个多项
5、式,则f(A)f(B).,证明:设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则,P 1f(A)P,=anP 1AnP+a1p 1AP+a0 P 1EP,=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,=P 1(anAn+a1A+a0E)P,=anBn+a1B+a0E,=f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例1.若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换，再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明:A与B相似.,A,P(i,j)A,P(i,j)A P(i,j)=B,注意：P(i,j)-1=P(i,j),5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则
6、有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.),事实上,设P 1AP=B,则|EA|=|P1|P|EA|=|P1|EA|P|=|P1(EA)P|=|EB|.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,注:特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP=B,则A=PBP 1=E.,矛盾!,上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,从定理5.3的证明中可看出，如果A相似于对角矩阵
7、,那么任意调整的主对角元素，所得新的对角矩阵与A也是相似的.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.4.假设1,2,s是n阶方阵A的属于不同特征值 1,2,s 的特征向量,则 1,2,s 线性无关.,推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.,注：推论5.4的逆命题不成立！,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.5.假设值 1,2,s是n阶方阵A的互不相同的特征值,i1,i2,i 是A相应于特征值 i的线性无关的特征向量,则向量组 11,12,1,21,22,2,s1,s2,s 线性无关.,ti,ts,t2,t1,对应 1,对应 2,对应
8、s,注：对于特征值i，其对应的线性无关特征向量的最大个数是ti.称之为i的几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个k重特征值0有k个线性 无关的特征向量,即 nr(A-0E)=k.,特征值0的重数k称为0的代数重数,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个特征值的代数重数等于 几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,三.方阵的相似对角化,对于n阶方阵A,求可逆矩阵P,使P 1AP为 对角矩阵的这件事称为矩阵A的相似对角化.,步骤如下：,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,求|EA
9、|=0的根,A可以相似对角化,r(iEA)=ni的重数?,A不能相似对角化,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例2.A=,1 0 0,2 4 3,分析：A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变换矩阵.,4-3 4,.求A100.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例3.A=,-1 2 3,0 2 2,问：x,y 取何值时A与B相似？,0 x 1,B=,0 0 0,0 0 y,0 3 0,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例4.假设2是矩阵A=,1 x-3,1 y5,-1 4-3,的二重特征值,若A相似于相似于对角矩阵，求 x,y 及可逆
10、矩阵P，使得P-1 AP是对角矩阵.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例5.A=,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值=3,i中有两个是虚数,所以A不与实对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,(3EA)x=的基础解系:p1=5,3,1T,(iEA)x=的基础解系:p2=0,i,1T,(iEA)x=的基础解系:p3=0,i,1T,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,作 业,习题五（B）10,13,14,15(1,3,5),16,19,24 上交时间：2系-12月22日（周二）4系和10系-12月21日（周一）,注：每周二下午3-4节教八400的公共答疑照常进行.,
