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1、,几何与代数,主讲:王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,上机时间地点通知12.19(本周六)下午2:00到3:30五楼 一到四号 机房题目本周四上传至课程中心,答疑通知从本周开始每周五上午一至四节课地点：教八400，位于教八四楼西侧楼梯口,注：每周二下午3-4节教八400的公共答疑照 常进行.,复 习 建 议静下心，默想一下课程的内容。对于不熟悉的，尽快熟悉.(本周)做往年试题。(14,15周做填空和计算，16周做证明题)时间允许的话,争取把课本的习题看一遍.考试前查漏补缺，针对弱项临时突击.,第5章 特征值与特征向量,第2节相似矩阵回顾,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一.相
2、似矩阵的定义和性质,设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 B=P 1AP,则称矩阵A相似于B.记为AB.P称为相似变换矩阵.,若A和B都相似于同一个对角阵,第5章 特征值与特征向量,AB,定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则A与B有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.),5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,注:特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,特征多项式都是(1)2.,但是A 和B不相似。,上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要
3、条 件是A有n个线性无关的特征向量.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的第一个充要条件，但是不方便使用.,定理5.4.假设1,2,s是n阶方阵A的属于不同特征值 1,2,s 的特征向量,则 1,2,s 线性无关.,推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的第二个充分条件,定理5.5.假设值 1,2,s是n阶方阵A的互不相同的特征值,i1,i2,i 是A相应于特征值 i的线性无关的特征向量,则向量组 11,12,1,21,22,2,s1,s2,s 线性无关.,ti,ts,t2,t1,对应 1,对
4、应 2,对应 s,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个k重特征值0有k个线性 无关的特征向量,即 nr(A-0E)=k.,特征值0的重数k称为0的代数重数,其对应的线性无关特征向量的最大个数称之为0的几何重数.,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个特征值的代数重数等于 几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,判断相似的第三个充要条件,提醒：如果一个n阶方阵相似于对角阵，则它一定有n个线性无关的特征向量，它们构成了Rn 的一组基.,三.方阵的相似对角化,步骤如下：,5.2 相似矩阵,第5章 特
5、征值与特征向量,求|EA|=0的根,A可以相似对角化,n-r(iEA)=i的重数?,A不能相似对角化,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例2.A=,1 0 0,2 4 3,分析：A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变换矩阵.,4-3 4,.求A100.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,=P 1 A P,A=P P 1,A100=P 100P 1,例3.A=,-1 2 3,0 2 2,问：x,y 取何值时A与B相似？,0 x 1,B=,0 0 0,0 0 y,0 3 0,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,分析：,A与B相似,tr(A)
6、=tr(B),|A|=|B|,x,y的取值,验证A与B确实相似,例4.假设2是矩阵A=,1 x-3,1 y5,-1 4-3,的二重特征值,若A相似于对角矩阵，求 x,y 及可逆矩阵P，使得P-1 AP是对角矩阵.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,分析：,A相似于对角矩阵,2是二重特征值,r(A-2E)=3-1=2,求 x,y,特征值之和等于迹,另一个特征值,例5.A=,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值=3,i中有两个是虚数,所以A不与实对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,(3EA)x=的基础解系:p1=5,3,1T,(iEA)x=的
7、基础解系:p2=0,i,1T,(iEA)x=的基础解系:p3=0,i,1T,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,第5章 特征值与特征向量,第3节实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,5.3 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的性质,1.复矩阵的共轭矩阵,设A=aijmn,aijC.,A的共轭矩阵.,可以验证,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,2.实对称矩阵,性质5.1.实对称矩阵的特征值均为实数.,性质5.2.设1,2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值,p1,p2是对应与它们的特 征向量,则p1与p2正
8、交.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理5.7.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得 QTAQ=diag(1,2,n),其中1,2,n为A的全部特征值,Q=q1,q2,qn的列向量组是A的对应于1,2,n的标准正交特征向量.,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,注 1.实对称矩阵一定可对角化；2.相似变化矩阵一定可以取为正交矩阵.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例6.把,正交相似对角化.,解:|EA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(A-2E)x=的基础解系1=(0,1,1)T.(A-4E)x=的
9、基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,只需将它们单位化，之后组成矩阵,则Q一定满足,注:对于2=3=4,若取(A-4E)x=的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,再单位化,即得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例7.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量
10、与3正交();(2)求A.,证明(1):由定理5.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个 线性无关的特征向量1,2对应于=1.,注意到1,2,3是R3 的一组基,所以可设=k11+k22+k33,故=k11+k22,是对应于=1的特征向量.,由3,=3,1=3,2=0得k3=0,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,例7.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交
11、();(2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=2,1,2T,2=2,2,1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,Q=,由此可得A=QQT,注：求解第二问的过程中，如果令P=1,2,3,则 P-1AP=.从而 A=PP-1.但用此法求解A需要进行求逆运算。,例8.设3阶实对称矩阵A不可逆,且1=1,0,1T,2=1,0,-1T分别是A的相应于特征值1,2的特征向量.求A.,分析：,(1)A不可逆,0是A的特征值,设A对应于特征值0的特征向量为3,由3,1=3,2=0 可求得3.,(2)记P=(1,2,3),则 P-1AP=diag(1,2
12、,0).,A=P diag(1,2,0)P-1.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(2)或将1,2,3 单位化后得1,2,3.记Q=(1,2,3),则 QTAQ=Q1AQ=diag(1,2,0).,A=Q diag(1,2,0)QT.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,教学内容和基本要求,第五章 矩阵的相似变换和特征值,理解矩阵的特征值和特征向量的概念,熟练掌握矩阵的特征多项式,特征值,特征向量的求法;熟练掌握特征多项式,特征值,特征向量的性质;了解矩阵的迹的概念,了解矩阵的迹,行列式与其特征值的关系;理解矩阵的相似性概念,理解两矩阵相似的必要条件;熟练掌握矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件,并熟练掌握相应的对角矩阵及相似变换矩阵的求法;熟练掌握实对称矩阵的性质,熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法.,简单介绍：Matlab的求解方程组方法及画图命令,作 业,习题五（B）26(2,3),27,28,29,30,上交时间：2系-12月22日（周二）4系和10系-12月21日（周一）,
