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1、中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,1,第五章 矩阵的特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,5.2 相似矩阵与矩阵可对角化条件,5.3 实对称矩阵的对角化,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,2,一、特征值与特征向量定义,三、矩阵的迹,二、特征值与特征向量求法,5.1 矩阵的特征值与特征向量,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,3,一、特征值与特征向量定义,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,4,说明,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,5,称,二、特征值与特征向量的计算方法,中南财经政法大学
2、信息学院信息系 2023/11/16,6,定理5.1设是n阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量,证明,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,7,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,8,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,9,解,得特征值,由,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,10,由,二重根,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,11,解,得特征值,得基础解系,全部特征向量为,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,12,得基础解系,全部特征向量为,注意在例
3、1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.,二重根,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,13,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,14,例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,15,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,16,矩阵的特征值与其特征多项式的关系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,17,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,18,特点,则有：,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,19,
4、性质：,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,20,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,21,课堂练习,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,22,（答：2，-2，0.）,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,23,一、相似矩阵概念,二、相似矩阵基本性质,三、矩阵可对角化的条件,5.2 相似矩阵与矩阵可对角化条件,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,24,使,则称,与,是相似的,或说,一、相似矩阵概念,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,25,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/1
5、6,26,相似是一种等价关系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,27,二、相似矩阵基本性质,(6)相似矩阵的逆矩阵仍相似(设两者都可逆).(7)相似矩阵的幂仍相似.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,28,证明,设矩阵A与B相似,即有P-1 AP=B,(1),(2)显然.,(3),(4)由(3)即得.,(5)由(4)及特征值与迹的关系可得.,(6)(7)由相似的定义可得.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,29,根据特征方程根与系数的关系,有：,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,30,课堂练习,中南财经政法大学信息
6、学院信息系 2023/11/16,31,三、矩阵可对角化的条件,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,32,证明,设,得到,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,33,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,34,定理5.3,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,35,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,36,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,37,证明,则,即,类推之，有,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,38,把上列各式合写成矩阵形式，得,中南财经政法大学信息学院信息系
7、2023/11/16,39,定理5.4,对一重特征值来说,相应地只有一个线性无关的特征向量,对k重特征值来说,相应地线性无关的特征向量不会超过k个,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,40,(证明略),定理5.5,推论 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,41,如教材5.1例3，P169,注意：逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,42,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,43,解之得基础解
8、系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,44,求得基础解系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,45,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,46,A能否对角化？若能对角化,试求出可逆矩阵P,例2,解,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,47,解之得基础解系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,48,所以 可对角化.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,49,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,中南财经政法大学信息学院信息系 20
9、23/11/16,50,例：对教材5.1例2、例3的矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,51,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,52,(2),若令,则有,故,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,53,课堂练习,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,54,一、实对称矩阵的特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的对角化,二、实对称矩阵的对角化,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,55,定理5.7 实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、实对称矩阵的特征值与特征向量,中南
10、财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,56,于是有,两式相减，得,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,57,定理.的意义,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,58,证明,于是,定理5.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征 向量是正交的,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,59,证明,它们的重数依次为,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,60,二、实对称矩阵的对角化,由上面结论(3)得：,中南财经政法大学信息学院信息系 2023
11、/11/16,61,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,62,特征值为,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,63,(2),求特征向量:,对于,解,得线性无关的特征向量为,对于,解,得线性无关的特征向量为,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,64,正交化,取,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,65,要特别注意本题的解题方法和步骤.在后面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法.,中南财经政法大学信息
12、学院信息系 2023/11/16,66,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,67,解之得基础解系,解之得基础解系,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,68,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化，单位化,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,69,写出正交矩阵.,第四步.,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,70,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,71,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,72,于是得正交阵,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,73,课堂练习,中南财经政法大学信息学院信息系 2023/11/16,74,本章要点,矩阵的特征值与特征向量相似矩阵的概念与性质矩阵对角化,
