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1、1,第3章离散系统的数学描述,为了研究离散系统的性能，需要给出离散系统的数学模型。离散系统的数学模型主要有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。这些描述方法虽然形式不同，但在描述同一系统时却是等价的，并且可以相互换算，离散系统的每一种数学描述相对连续系统均有类似的方法与之对应。例如数字控制系统的时间脉冲序列对应于连续系统的时间脉冲响应；差分方程对应于微分方程；脉冲传递函数对应于传递函数；离散状态空间表达式对应于连续状态空间表达式等等。,2,3.1 线性差分方程3.2 脉冲传递函数,第3章 离散系统的数学描述,3,3.1 线性差分方程,1离散系统的定义,一、离散系统的数学定义,将输入序
2、列，变换为输出序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统，记作（3-1）式中：r(n)和c(n)可以理解为t=nT时,系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT)，T为采样周期。,说明：1）讨论离散系统时,仅关注采样时刻上各信号间的关系;,2）离散系统反映的是输入序列与输出序列之间的一种变换关系，或者称映射关系。,4,2线性离散系统的定义,若,且有,其中a，b为任意常数，则：,如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，即有如下关系式：,3线性定常离散系统的定义,输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统，也称作线性时不变离散系统。,5,二、线性常系数差分方程及其解法,1
3、线性常系数差分方程,线性定常离散系统可用n阶后向差分方程来描述：,即：,式中：和 为常系数，上式称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。,（3-2）,说明：,1）上式所描述的系统实际上是一个因果系统；,2）差分方程中序号的最大差值称为方程的阶。,6,线性定常离散系统也可用n阶前向差分方程来描述：,说明：1）后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序；2）前向差分方程：便于讨论系统阶次，从而便于使用Z变换法计算线性常系数差分方程的解。,即,（3-3）,7,2线性常系数差分方程的解法,经典法迭代法Z变换法,线性常系数差分方程的求解方法,后向差分方程或前向差分方程都可以使用迭代
4、法求解。若已知差分方程（3-2）或（3-3），并且给定输出序列的初值和输入序列，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。,1）迭代法（递推法）,8,例4（P301例7-16）：已知差分方程 c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k)，k=0,1,2,10.,解：根据初始条件及递推关系，得：,c(0)=0c(1)=1,说明：用递推法求解差分方程，计算过于烦琐，不易得到输出序列c(k)的通项表达式。,9,2）Z变换法（）,主要思路：在已知输出c(k)的初始值和输入序列r(k)的情况下，对差
5、分方程两端取Z变换，并利用Z变换的实数位移定理，得到以z为变量的代数方程，计算出代数方程的解C(z)，再对C(z)取Z反变换，求出输出序列c(k)。,具体步骤：根据Z变换实数位移定理对差分方程逐项取Z 变换；求差分方程解的Z变换表达式C(z)；通过Z反变换求差分方程的时域解c(k)。,10,说明：使用Z变换法时，应采用前向差分方程，利用超前定理将其转换成以z为变量的代数方程。若给出的描述系统的差分方程是后向差分方程的话，应该先将其转换成前向差分方程，再利用超前定理将其转换成以z为变量的代数方程。否则的话，若直接利用滞后定理将后向差分方程转换为以z为变量的代数方程的话，计算得到的代数方程的解C(
6、z)形式通常比较复杂，难以进行Z反变换。,11,注意：在应用Z变换法求差分方程的解之前，必须先判断以下两个问题：1）判断差分方程的类型：若是前向差分方程，只需直接应用超前定理进行Z变换；若是后向差分方程，通常需先将其转换成前向差分方程，再利用超前定理进行Z变换。2）判断差分方程的阶数，确定计算中所需的的初值个数：由于应用Z变换法计算差分方程的解时，计算中所需的的初值个数等于差分方程的阶数，所以需要判断差分方程的阶数。例如一个二阶差分方程，需已知两个初值c(0)，c(1)才能进行后续计算。若题目中所给的已知的初值条件不足，必须先设法计算出所需的全部初值，才能进行后续计算。,12,例6（P301例
7、7-17）：用Z变换法解下列差分方程,设初始条件为c(0)=0，c(1)=1。,例7（P347 习题7-8(1)）：用Z变换法求解下列差分方程,已知,13,例9：已知某离散系统的运动方程由下列差分方程描述：,其中：试求系统的响应c(kT)。,例8：已知差分方程输入序列r(k)=1，初始条件为c(0)=0，c(1)=1，试用Z变换法计算输出序列c(k)（k0）。,思考题：,14,3.2 脉冲传递函数（）,一、脉冲传递函数定义,图3-1 开环离散系统,脉冲传递函数定义(P302)（）：在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比（在输入端必须有采样开关），即,图3-2 实际的
8、开环离散系统,15,二、脉冲传递函数的物理意义,1.脉冲传递函数的含义是(P303)：系统脉冲传递函数G(z)，就等于单位脉冲响应序列K(nT)的Z变换，即,2.脉冲传递函数G(z)与差分方程的关系:,Z变换,16,三、脉冲传递函数求法,1.连续系统的脉冲传递函数G(z)，可以通过其传递函数G(s)来求取，具体步骤是：,2)将K(t)按采样周期离散化，得K(nT);,1)用拉氏反变换求脉冲响应K(t)，即,3)应用Z变换定义求脉冲传递函数G(z)，即：,2.根据Z变换表，可以直接从G(s)得到G(z)，而不必逐步推导，即定义G(s)的Z变换：,17,例11（P305 例7-19）：设图3-2中
9、所示开环系统中的,图3-2 实际的开环离散系统,试求相应的脉冲传递函数G(z)。,解：将G(s)展成部分分式,查Z变换表得,18,例12：已知系统差分方程如下，计算G(z)。,解：对差分方程两边取Z变换，应用滞后定理得：,整理得：,所以系统脉冲传递函数为：,19,四、开环系统脉冲传递函数,注意：在研究系统的脉冲传递函数时，要特别关注采样开关的数目和位置，它们直接影响着脉冲传递函数的形式。,从以下几个方面讨论：1）有串联环节时的开环系统脉冲传递函数；2）（）有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数。3）有并联环节时的开环系统脉冲传递函数（补充）；,20,1采样拉氏变换的两个重要性质,（1）采样函数的
10、拉氏变换具有周期性，即,（2）（）(P305)若采样函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化，则E*(s)可以从离散符号中提出来，即,21,2有串联环节时的开环系统脉冲传递函数,当开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。因此计算时要特别注意：环节之间有无采样开关及开关位置。考虑由两个串联环节构成的开环离散系统，有两种不同的情况：,（1）串联环节之间有采样开关;,（2）串联环节之间无采样开关。,22,（1）串联环节之间有采样
11、开关,图3-3 串联环节之间有采样开关,开环系统脉冲传递函数：,即有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自脉冲传递函数之积。,图3-4 图3-3的等效离散系统方框图,23,（2）串联环节之间无采样开关,图3-5串联环节之间无采样开关,开环系统脉冲传递函数为：,没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应Z变换。,图3-6 图3-5的等效离散系统方框图,24,例13（P307例7-20）：设开环离散系统如图3-3和图3-5所示，其中：，输入信号，试求两个系统的脉冲传递函数G(z)和输出的Z变换C(z)。,解：,
12、图3-3:有采样开关隔开,图3-5：无采样开关隔开,在串联环节之间有无同步采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不同的。但是，不同之处仅表现在其零点不同，极点仍然一样，这也是离散系统的特有的现象。,25,3有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数（）,图3-7 零阶保持器的开环离散系统,图3-8 图3-7的等效开环系统,（）,26,例14（P308例7-21）：设离散系统如图3-7所示，已知：,求系统的脉冲传递函数 G(z)。,解：,结论:零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点,27,例15：（Z变换测试题）已知:,采样周期T=1秒，计算。,解：,28,4有并联环节时的开环系统脉冲传
13、递函数（补充）,图3-9 并联环节的开环离散系统,并联环节的开环系统脉冲传函为:,即：输入端具有采样开关的并联环节的脉冲传递函数等于各环节的脉冲传递函数之和。,图3-10 图3-9的等效离散系统方框图,29,五、闭环系统脉冲传递函数（）,对于线性离散控制系统，由于采样开关的数目和位置不同，使得闭环脉冲传递函数不像连续系统那样具有统一的形式。因此，在求离散控制系统的闭环脉冲传递函数时，要根据采样开关的实际情况进行具体分析。,对偏差信号进行采样的系统,不对偏差信号进行采样的系统,30,（a）系统框图,1对偏差信号进行采样的系统,（b）等效离散系统框图图3-12 对误差进行采样的闭环离散系统结构图,
14、误差脉冲传递函数：,脉冲传递函数：,闭环离散系统的特征方程：,-,31,注意1：对偏差信号进行采样的离散系统其闭环脉冲传递函数与连续系统的闭环传递函数形式上很相似，但要注意：由于采样开关在闭环系统中有多种配置形式，所以 决不能对 取Z变换得来，即,注意2：P312表7-3给出了采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统结构图，及其输出采样信号的Z变换函数C(z)，显然表中1，3，4，7，8项是对偏差进行采样的系统框图。,32,例17（P310例7-22）：设闭环离散系统结构图如下图所示,试证其闭环脉冲传递函数为：,图3-13(a),-,r*(t),y*(t),y(t),c*(t),33,解
15、：由图3-13(a)可见，每两个采样开关之间有如下关系式：,图3-13(b)与图3-13(a)等效的离散系统框图,34,2不对偏差信号进行采样的系统,(a)系统框图,（b）系统的等效框图,图3-14 不对偏差信号采样的闭环离散系统结构图,RG1*(s),Y*(s),Y(s),35,由3-14（b）可得：,式中：,图3-14(c)与图3-14(b)等效的离散系统框图,36,注意1：由于不对偏差信号进行采样，使得R(z)不能独立出来，此时不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数C(z),但这并不妨碍对C*(t)的研究.注意2：P312表7-3中2，5，6项
16、是不对偏差进行采样的系统框图。,37,例18（P311例7-23）：设闭环离散系统结构图如图3-15所示，试证其输出采样信号的Z变换函数,图3-15(a),38,解：法1（教材P311）,法2：,图3-15(b)图3-15(a)的等效框图,图3-15(c)图3-15(b)的等效离散系统框图,39,例19（P347 习题7-10（a）求下列闭环离散系统的脉冲传递函数。,解：虚设采样开关，各信号之间的Z变换关系式为：,40,(2)、(3)代入(4)得：,(5)代入(1)得：,(5),图3-16(b)图3-16(a)的等效离散系统框图,41,六、Z变换法的局限性及修正Z变换（简介）,1Z变换法的局限
17、性（P313）,（1）Z变换的推导是建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，就等于采样瞬时上的时间函数。这种假定，只有当采样持续时间与系统的最大时间常数相比是很小的时候，才能成立。,42,（2）输出Z变换函数C(z)，只确定了时间函数c(t)在采样瞬时上的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息，因此对于任何C(z)，Z反变换c(nT)只能代表c(t)在采样瞬时t=nT(n=1,2,)的数值。,（3）用Z变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数Gp(s)的极点数至少要比其零点数多两个（即G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时必须没有跳跃），或满足。否则，用Z变换法得到的系统采样输出c*(t)与实际连续输出c(t)差别较大，甚至完全不同。,43,2修正Z变换法(P314),
