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1、1.3 算法案例,问题1 求204与85的最大公约数,问题2 求8251与6105的最大公约数,204与85的最大公约数是17,8251与6105的最大公约数是34,辗转相除法:我们可以证明，对于任意两个正整数，上述步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除的方法求出最大公约数,案例1：辗转相除法,例1 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步
2、 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除
3、数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,225=1351+90,135=901+45,90=452,辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的
4、数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,更相减损术,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217141477,所以，98和63的最大公约数等于7,例1 计算多项式（）=当x=5的值,因为（）=,所以（5）=55555,=3125625125255,=3906,算法2：,（5）=55555,=5（5555）,=5（5（555）,=5（5（5（55）,=5（5（5（5（5）,案例2：秦九韶算法,算法1：,对该多项式按下面的方式进行
5、改写：,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,例2 已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。,解：,将多项式变形：,按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：,所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,开始,输入f(x)的系数：a0、a1、a2、a3、a4、a5,输入x0,n=0,v=a5,v=vx0+a5-n,n=n+1,n 5?,输出v,结束,否,是,1、什么是进位
6、制？,2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明,进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。,案例3：进位制,1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？,十进制由两个部分构成,例如：3721,其它进位制的数又是如何的呢？,第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字；,第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。,(用10个数字来记数，称基数为10),表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方,2、二进制,二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等,一、二进制的表示方法,区分的写法：11001
7、（2）或者（11001）2,8进制呢？,如7342(8),k进制呢？,anan-1an-2a2a1(k)？,二、二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1 将二进制数110011(2)化成十进制数,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51。,练习,将下面的二进制数化为十进制数？,（1）11,（2）111,（3）1111,（4）11111,2、十进制转换为二进制(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数),例2 把89化为二进制数,根据“逢二进一”的原则，有,892441,2(2220)+1,2(2(2110)+0)+1,2(2(2(2 51)+0)+0)
8、+1,5 2 21,2（2（2（2（221）1）0）0）1,89126025124123022021120,所以：89=1011001（2）,2（2（2（2321）0）0）1,2（2（242220）0）1,2（2523+2200）1,2624+230021,892441,44 2220,22 2110,11 2 51,2(2(2(2(2 21)+1)+0)+0)+1,所以892（2（2（2（2 2 1）1）0）0）1,余数,注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）,1,0,0,1,1,0,1,2,2,2,2,2,2,2,5,2,1,0,1
9、1,22,48,89,！,练习,将下面的十进制数化为二进制数？,（1）10,（2）20,（3）128,（4）256,例4 把89化为五进制数,3、十进制转换为其它进制,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为：,所以，89=324（5）。,将k进制数a转换为十进制数(共有 n位)的程序,a=anan-1 a3a2a1(k),=ank(n-1)+an-1k(n-2)+a3k2+a2k1+a1k0,b=a1k0,b=a2k1+b,b=a3k2+b,b=ankn-1+b,ai=GET aiGET函数用于取出a的右数第i位数,INPUT a,k,n,i=1,b=0,WHILE i=n,t=GET ai,b=t*k(i-1)+b,i=i+1,WEND,PRINT b,END,i=i+1,i=1,小结,2、掌握二进制与十进制之间的转换,1、进位制的概念,再见,
