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1、第二章系统工程的基础理论与方法论,11/16/2023 11:42 AM,1,系统工程的基础理论与方法论,系统最优化理论 控制理论基础 信息论基础 系统工程方法论,11/16/2023 11:42 AM,2,系统最优化理论,系统工程是一门交叉学科，其最基础的理论涉及系统最优化、系统控制与系统的信息处理三个方面。系统工程核心目标之一是使系统运行在最优状态，因此，系统最优化技术是其最重要的理论支撑。,11/16/2023 11:42 AM,3,系统最优化理论,系统优化理论主要包括线性规划、非线性规化、整数规划、动态规划等内容，如果考虑到最优化技术在不同应用领域中的拓展，还应包括排队论、对策论、决策
2、论等，这些都属于运筹学的研究范畴。,11/16/2023 11:42 AM,4,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,5,线性规划,线性规划是系统优化理论体系中产生较早、应用广泛的一个分支，其中的内容是求取线性函数在线性等式或不等式约束下达到最小或最大值的问题。,11/16/2023 11:42 AM,6,某厂有三种原料B1、B2和B3，储量分别为170、100和150千克。现用此三种原料生产两种产品A1和A2。已知每生产1千克A1需要原料5千克B1、2千克B2和1千克B3。每生产1千克A2需要原料2千克B1、3千克B2和5千克B3。又知每千克A1产品利润为10元，每千克A2产品利
3、润为18元。问在工厂现有资源条件下，应如何安排生产，才使工厂获得最大利润。,11/16/2023 11:42 AM,7,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,8,线性规划,解:设安排A1、A2产品的产量分别为 x1千克和x2 千克，则产品的总利润为(10 x1+18x2)元。然而，考虑原料存量的限制。就原料B1来说，生产x1 千克A1要消耗5x1 千克B1，生产 x2千克A2要消耗2x2 千克B1，因此共消耗B1为5x1+2x2 千克。同样，共消耗B2为 2x1+3x2千克，共消耗B3为x1+5x2 千克。按原料B1、B2、B3的存储量限制，各原料总消耗量应不高于存储量，即 170
4、，100，150。最后，考虑到产品的产量不能为负数。,11/16/2023 11:42 AM,9,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,10,线性规划,例2 某企业共有m个生产基地生产同一种产品，产量分别为。该产品主要销售地n个，销量分别为。将产品从第i个产地运到第j个销地的单位运输成本为，对应的运输量为。问在产量与销量持平的前提下，如何设计运输方案使运费最低？,11/16/2023 11:42 AM,11,线性规划,解:首先，在假设运输量为xij 条件下其总的运费为。其次，要考虑到从任意产地运出的量要等于该产地的产量，即。第三，还要考虑到运到任意销地的量要等于该销地能销出的量，即
5、。最后，也要考虑到 的产品数量属性，即,11/16/2023 11:42 AM,12,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,13,线性规划,线性规划模型由三个要素构成：（1）决策变量，如例1 中的x1和x2。决策变量是问题中要确定的未知量，决策者通过调控决策变量来选取不同的方案、设计、措施以达到最优目的。（2）目标函数。目标函数通常是决策变量的函数，表达了“何为最优”的准则和目标，规定了优化问题的实际意义。,11/16/2023 11:42 AM,14,线性规划,（3）约束条件。约束条件指决策变量取值时受到的各种资源和条件的限制，表达了一种“有条件优化”的概念，通常为决策变量的等式
6、或不等式方程。,线性规划,如果决策变量的取值是连续的，且目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，则称为线性规划问题。如果决策变量的取值为整数点，则称为整数规划问题；如果部分决策变量取值连续而其余取值为整数，则称为混合整数规划问题；如果目标函数和约束条件中存在任何的非线性因子，则称为非线性规划问题。,11/16/2023 11:42 AM,15,11/16/2023 11:42 AM,16,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,17,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,18,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,19,线性规划,11/16/2023 11:
7、42 AM,20,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,21,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,22,线性规划,目前，LP问题的求解基本采用两种方法：低维LP（如两维）问题的图解求法和高维LP（三个决策变量以上）问题的单纯形求法。一般情况，满足约束条件的决策变量向量在n维空间中构成的点的集合称为解的可行域，可行域中使目标函数达到最优的解点称为最优解，相应最优解的目标函数值称为最优值。对LP问题来说，如果仅含有两个决策变量，则其可行域可以在平面上画出，最优解可由图解法确定。,11/16/2023 11:42 AM,23,线性规划,用图解法求解线性规划问题时不必将线性规
8、划模型化为标准形式，其求解过程一般经历以下几步：1 以两个变量为轴在平面上建立直角坐标系；2 图示线性（不）等式约束，标出可行域；3 图示并移动目标函数，寻找最优解。,11/16/2023 11:42 AM,24,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,25,线性规划,11/16/2023 11:42 AM,26,线性规划,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,27,11/16/2023 11:42 AM,28,整数规划,许多实际问题的求解中，都要求部分甚至全部决策变量取整数值，如1台设备、5个人等，这类数学规划问题称为整数规划，其中，要求全部决策变量都必须取整数值的称为
9、纯整数规划；部分决策变量取整数值的称为混合整数规划。有时，要求决策变量为只能取0或1的逻辑变量，则称为01规划。,11/16/2023 11:42 AM,29,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,30,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,31,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,32,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,33,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,34,整数规划,对于IP问题的求解，常有两种直观的推断。第一，利用计算机进行各种方案的穷举比较总能得到最好的方案。然而，这样的穷举比较方法，当问题规模较大时，是不可行
10、的。例如旅行商（TSP）问题，当n=30时，以现有的计算机运行速度，穷举比较约需几百年！这种现象称为“组合爆炸”。更何况对于混合整数规划问题，若干变量的取值选择本来就是无穷多个。,现有的计算机运算速度,2013年6月17日，国际TOP500组织公布最新全球超级计算机500强排行榜榜单，中科大研制的“天河二号”以每秒33.86千万亿（e15)次的浮点运算速度，成为全球最快的超级计算机。时隔两年半后，中国超级计算机运算速度重返世界之巅。一年：3.11e7秒。,11/16/2023 11:42 AM,35,旅行商问题,11/16/2023 11:42 AM,36,11/16/2023 11:42 A
11、M,37,整数规划,第二，先放弃变量的整数性要求，解相应线性规划问题,然后对线性规划问题的最优解进行“四舍五入”取整数作为整数规划的解。这种做法在一般情况下是不成功的，线性规划解的整数近似点有时根本不是相应整数规划问题的可行解！既便是整数规划问题的可行解，也未必恰好是最优解。,11/16/2023 11:42 AM,38,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,39,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,40,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,41,整数规划-分支定界,目前，常用的求解IP的方法是分枝定界法和割平面法。设有最大化的IP问题A，与它相应的LP
12、问题为B。从解问题B开始，若B的最优解符合A中的整数条件，则A的最优解即为B的最优解；若B的最优解不符合A的整数条件，则B的最优解对应的最优值必是A的最优值 的上界，而A的某任一可行解的目标函数值将是A的一个下界。分枝定界就是不断将B的可行域分成子区域-分枝，并在每个子区域中确定A的上界 和下界 的方法。逐步减小和增大，最终得到。,11/16/2023 11:42 AM,42,整数规划-分支定界,11/16/2023 11:42 AM,43,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,44,整数规划,求解B，得其最优解x1=4.81，x2=1.82,z0=356.它不符合整数条件，则 为
13、问题A的最优值的上界，即Z=z0，在图的阴影可行域中任取一个整数可行解，如O点,则对应该点（0，0）的值必为A的一个下界，记为 Z=0，所以0 Z*356,也就是说，A的最优值必大于A的任意可行解值且小于B的最优值。,11/16/2023 11:42 AM,45,整数规划-分支定界,11/16/2023 11:42 AM,46,整数规划,分枝定界方法的第二步，首先注意B中任一个非整数变量的解，如X1。在问题B中最优解为X1=4.81,于是对B通过增加两个约束条件X1=5可将B分解为两个子问题B1和B2，即将B的可行域在X1=4.81前后分割为两个子可行域（称为分枝），如图所示。,11/16/2
14、023 11:42 AM,47,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,48,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,49,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,50,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,51,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,52,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,53,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,54,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,55,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,56,整数规划,11/16/2023 11:42 AM,57,整数规划
15、,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,58,11/16/2023 11:42 AM,59,非线性规划,如果目标函数或约束条件方程中存在任何非线性因子，则问题为非线性规划。非线性规划在工程、军事、经济等许多领域都得到广泛的应用。,11/16/2023 11:42 AM,60,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,61,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,62,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,63,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,64,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,65,非线性规划(NLP)
16、,NLP问题的求解一般通过两种途径来实现，一种是基于目标函数和约束条件的函数分析性质直接加以求解的解析解法，多适用于具有良好函数解析性质的少数NLP问题；另一种是基于循环迭代算法的数值求解法，适用于大部分NLP问题。,11/16/2023 11:42 AM,66,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,67,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,68,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,69,非线性规划-迭代法,11/16/2023 11:42 AM,70,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,71,非线性规划,11/16/2023 11
17、:42 AM,72,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,73,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,74,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,75,非线性规划-最速下降法,11/16/2023 11:42 AM,76,非线性规划-最速下降法流程,11/16/2023 11:42 AM,77,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,78,非线性规划-广义牛顿法,11/16/2023 11:42 AM,79,非线性规划,11/16/2023 11:42 AM,80,非线性规划-共轭梯度法,典型非线性函数,11/16/2023 11:42 AM,81,非线性函数（Schaffers）,11/16/2023 11:42 AM,82,非线性函数（Ackly）,11/16/2023 11:42 AM,83,非线性函数（Rastrigrin）,11/16/2023 11:42 AM,84,非线性优化问题的求解,进化优化算法-GA,DE,PSO,ABC等。非单点迭代，采用群进化的方式进行求解。不需要函数的导数信息。函数可以是非连续的。可以求解MINLP问题。,11/16/2023 11:42 AM,85,
