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1、线性代数 第二章,第二章 方阵的行列式,本章教学内容1 n阶行列式的定义2 方阵行列式的性质3 展开定理与行列式的计算,1 n阶行列式的定义,1.排列与逆序数定义 由1,2,n按任何一种次序排成的有序数组i1 i2 in称为一个n级排列，简称排列.例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个性质 不同的n级排列共n!个.排列123，从小到大排，全顺；排列132，32,但3排在2之前，即32是一个逆序定义 在一个排列i1 i2 in中,若it is中,但it排在is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2 in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,记为(i1 i2 in
2、).,1 n阶行列式的定义,公式 若排列i1 i2 in中,it之后有kt个数比it小(t=1,2,n-1),则(i1 i2 in)=k1+k2+kn-1.例(53421)=(52431)=定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；例(53421)=9,53421为奇排列；(52431)=8,52431为偶排列。,作一次对换,改变了排列的奇偶性,1 n阶行列式的定义,定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素不动，这种构成一个新排列的变换称为对换.定理1.1 一次对换必改变排列的奇偶性.(证略)例1 设3x452y是一个6级奇排列，求x,y.解(314526)=2+0+
3、1+1+0=4,314526是偶排列，364521是奇排列，x=6,y=1.推论 所有n级排列中奇偶排列各占一半，,例 n级排列n(n-1)21是奇排列还是偶排列？解(n(n-1)21)=(n-1)+(n-2)+1所以当n=4k或n=4k+1时，n(n-1)21是偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，n(n-1)21是奇排列.(上述n为正整数，k为整数),1 n阶行列式的定义,2.n阶行列式的定义我们已学过二阶行列式与三阶行列式二阶行列式例,一种算式,行列式的值,1 n阶行列式的定义,三阶行列式例下面我们来观察三阶行列式的值的特点,1 n阶行列式的定义,三阶行列式1.右边每项都是三个元素的乘
4、积，这三个元素位于行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成的形式，第一个下标(行标)排成标准排列123，第二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3，3级排列共有3!=6个，故右边共有6项。,1 n阶行列式的定义,三阶行列式2.带正号的三项，列标排成排列123,231,321,均是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321,213,132,均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为,表示对所有不同的3级排列求和,1 n阶行列式的定义,仿三阶行列式，可定义n阶行列式定义1.1 n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA.也称为n阶行列式.注1.均布项共有n!个，一半取正号,一半取负号；2.当n3
5、时，不宜用“对角线法则”计算行列式的值,表示对所有不同的n级排列求和,均布项,符号因子,来自不同行不同列的n个元素的积,1 n阶行列式的定义,3.一阶行列式 a11=a11,例 一阶行列式-2=-2，(这不是绝对值)4.行列式的值也可定义为,1 n阶行列式的定义,例2 证明证 当ij时，aij=0,则j1=1，j2=2，jn=n，即可能不等于零的均布项只有a11a22 ann，又(12 n)=0,即此项的符号为正号，所 以D=a11a22 ann,1 n阶行列式的定义,仿例2 证明可知,1 n阶行列式的定义,例4其中A11,A22,为方阵.例,1 n阶行列式的定义,更一般的有,1 n阶行列式的
6、定义,本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性；理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符号，熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式的值。作业：习题2.1(A)第1(1),3,5题,2 n阶行列式的性质,本节教学内容1.行列式的性质2.方阵行列式的性质,2 n阶行列式的性质,1.行列式的性质 为了方便行列式的计算，我们来讨论 行列式的性质.,2 n阶行列式的性质,性质2.1 行列式具有分行可加性，即,1 n阶行列式的定义,证,2 n阶行列式的性质,性质2.2 设A为方阵，则AT=A证 性质2表明，行列式对行成立的性质，对列也成立.由性质1、2有
7、,2 n阶行列式的性质,性质 2.1 行列式具有分列可加性，即,2 n阶行列式的性质,例推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列式的值为零.证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.,2 n阶行列式的性质,性质2.3即或,1 n阶行列式的定义,证 第一式再由性质2得第二式.推论2.1 行列式的某一行(列)的公因子可提到行列式的外面.,2 n阶行列式的性质,性质2.4即,第j行,第i行,2 n阶行列式的性质,或,1 n阶行列式的定义,证 第一式再由性质2得第二式.,2 n阶行列式的性质,例推论2.2 行列式有两行(列)相同，则行列式的值为零
8、。证 设行列式D的第i行(列)与第j行(列)相同，则,2 n阶行列式的性质,例推论2.3 行列式有两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零。证 设n阶方阵A的第i行与第j行对应元素成比例，即 ajs=kais(s=1,2,n)，若k=0,结论成立，若k 0,则B的第i行(列)与第j行(列)相同，(由性质2.2知列的情形也成立),2 n阶行列式的性质,例,=0,-2r1+r2,2 n阶行列式的性质,性质2.5即,2 n阶行列式的性质,或证 由性质2.1及推论2.3得到.,2 n阶行列式的性质,例1,2 n阶行列式的性质,例2,2 n阶行列式的性质,例3 计算行列式解,2 n阶行列式的性质,2.
9、方阵行列式的性质定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整数，则 A=nA；AB=AB；Am=Am.注 一般的A+BA+B；虽然ABBA，但AB=BA；由推得，下证,2 n阶行列式的性质,证明 A=nA；证 设A=(aij),则,2 n阶行列式的性质,证明 AB=AB；证 设A=(aij),B=(bij),由上节例4知D=AB，另一方面,2 n阶行列式的性质,(证毕),2 n阶行列式的性质,本节学习要求 熟悉行列式的性质与方阵的性质，熟练计算行列式的值。作业：习题2.2(A)第1(1)(3)题 习题2.2(B)第1(1)(3)题,3 展开定理与行列式的计算,本节教学内容1.行列式按一行(
10、列)展开定理2.Laplace定理,1.行列式按一行(列)展开定理三阶行列式的一个计算公式,3 展开定理与行列式的计算,Mij称为aij的余子式,Aij称为aij的代数余子式,3 展开定理与行列式的计算,定义3.1 在n阶方阵A=(aij)的行列式A中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后，留下的元素排成的n-1阶行列式Mij称为元素aij的余子式，Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.定理3.1 n阶方阵A=(aij)的行列式其中Aij为元素aij的代数余子式.(证略),按第i行展开,按第j列展开,3 展开定理与行列式的计算,例1,3 展开定理与行列式的计算,#,3 展开定
11、理与行列式的计算,例2计算行列式,3 展开定理与行列式的计算,解 按第一行展开,3 展开定理与行列式的计算,例3 证明Vandermonde(范德蒙德)行列式右边表示满足1ijn的所有xj-xi作连乘.如,3 展开定理与行列式的计算,证(数学归纳法),3 展开定理与行列式的计算,则,3 展开定理与行列式的计算,#,3 展开定理与行列式的计算,例4 计算行列式解 当x=0或y=0时,D=0,下设xy0,3 展开定理与行列式的计算,注 此法称加边法.,3 展开定理与行列式的计算,例4 计算行列式另解,3 展开定理与行列式的计算,定理3.2 设n阶方阵A=(aij),Aij为aij的代数余子式当i
12、j时，ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0；a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0；证 将A按第j行展开，得,再用aik代换ajk,得,ai1,ai1,ai2,ai2,ain,ain,0=,同理可证列的情形.,3 展开定理与行列式的计算,例5 设4阶行列式A中a12=2,a22=m,a32=k,a42=3;M12=1,M22=-1,M32=1,M42=-1;A14=3,A24=1,A34=4,A44=2，且A=1，求m,k的值。解 M12=1,M22=-1,M32=1,M42=-1，知 A12=-1,A22=-1,A32=-1,A42=-1，由定理3.1和定理3.2得解之得m=4
13、,k=-2.,3 展开定理与行列式的计算,2.Laplace(拉普拉斯)定理先介绍两个概念定义3.2 设D是一个n阶行列式，在D中取某k个行及某k个列(1kn)，由这些行与列相交处的元素构成一个k阶行列式，叫做D的一个k阶子式。定义3.3 设D是一个n阶行列式，N是D的某个k阶子式，在D中划去N所在的行及所在的列后，剩下的n-k阶子式M，称为子式N的余子式。若N所在行的序数是i1,i2,ik，所在列的序数是j1,j2,jk，叫做N的代数余子式。,3 展开定理与行列式的计算,例 设则,3 展开定理与行列式的计算,例 设则,3 展开定理与行列式的计算,定理3.3(Laplace拉普拉斯)设D是一个
14、n阶行列式，在D中取定某k个行(1 kn-1)，则含于此k行的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于D.注1.此定理通常说成行列式按某k行展开；同理行列式也可按某k列展开.2.定理3.1是Laplace定理的特例.3.n阶行列式D中取定某k个行，含于此k行的所有k阶子式共有 所以只有这些子式大部分为0时，应用定理才方便.4.第一节例4是Laplace定理的特例，即,1 n阶行列式的定义,推论,3 展开定理与行列式的计算,例7 计算行列式解 取定2,5列展开,3 展开定理与行列式的计算,例8 计算解：,3 展开定理与行列式的计算,本节学习要求 掌握行列式按一行(列)展开定理，熟练它去计算行列式的值，理解 Laplace定理，会用它对行列式作简便计算。作业：习题2.3(A)第1(1),2(3)题 习题2.3(B)第1(2),2(1)题,
