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1、问题的提出,主要内容,二次型的概念,主要结论,第 五 节 二次型及其标准形,合同矩阵,举例,在解析几何中,为了便于研究二次曲线,把方程化为标准形,的几何性质,我们可以选择适当的坐标旋转变换,ax2+bxy+cy2=1(1),一、问题的提出,变量的二次齐次多项式的化简问题.,(1)式的左边是一个二次多项式,从代数学的,观点看,化标准形的过程就是通过变量的线性变,换化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.,这样一个问题,在许多理论问题或实际问题中常,会遇到.,现在我们把这类问题一般化,讨论 n 个,于是(2)式可写成,二、二次型的概念,定义 8 称 n 个变量的二次齐次式,f(x1,x2,xn)
2、=a11x12+a22x22+annxn2+,2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn(2),为二次型.,取 aij=aji,则,2aijxixj=aijxixj+ajixjxi,f(x1,x2,xn)=a11x12+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+a2nx2xn+an1 xnx1+an2xnx2+annxn2,若记 A=(aij)nn,x=(x1,x2,xn)T,则,关系.,(2)式所表示的二次型可以表示成,其中 AT=A 为实对称矩阵,称 A 为二次型的矩,阵.,称矩阵 A 的秩 R(A)为二次型的秩.,这样,实二次型与实对称矩阵之间就建
3、立起一一对应的,例 22 已知二次型,写出二次型的矩阵 A,并求出二次型的秩.,显然，,解 设 f=xTAx,则,例 23 已知二次型,写出二次型的矩阵 A，并求出二次型的秩.,单击这里求秩,解 设 f=xTAx,则,的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.,定义 如果一个二次型只含变量的平方项，,则称这个二次型为标准形(或法式).,对于二次型，我们讨论的主要问题是：,寻求,可逆的线性变换 x=Cy，把二次型化为标准形.,二次型的秩的意义是：,一个二次型,如果标准形的系数只在 1,-1,0 三个数中,取值，则称之为规范形.,三、合同矩阵,1.定义,定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可
4、逆,矩阵 C，使 B=CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.,2.性质,定理 任给可逆矩阵 C，令 B=CTAC，,如果 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且,R(B)=R(A).,此定理说明经可逆变换 x=Cy 后,二次型的,矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC,且二次型,的秩不变.,就是要使,要使二次型经可逆变换 x=Cy 变成标准形,使 CTAC 为对角矩阵.,也就是要使 CTAC 成为对角矩阵.,因此,我们的主,要问题就是，,对于对称矩阵 A,寻求可逆矩阵 C,由上节,结论应用于二次型,即有,有正交矩阵 P,使 P-1AP=,即 PTAP=.,把此,知,任给实对称矩阵A,总
5、,四、主要结论,定理 8 任给二次型,总有正交变换 x=Py,使 f 化为标准形,其中1,2,n 是 f 的矩阵 A=(aij)的特征值.,f=1y12+2 y22+nyn2,推论 任给 n 元二次型 f=xTAx(AT=A),总有可逆变换 x=Cz，使 f(Cz)为规范形.,例 22 用正交变换化下列二次型为标准形,并求出所作的非退化线性变换(即可逆变换):,五、举例,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本
6、堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
