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1、2023/11/16,1,本章主要内容,一、行列式的定义与性质二、展开定理三、Cramer法则,2023/11/16,2,一、n 阶行列式的性质,2023/11/16,3,2023/11/16,4,）余子式与代数余子式,二、行列式按行（列）展开,2023/11/16,5,）关于代数余子式的重要性质,2023/11/16,6,三、克拉默法则,2023/11/16,7,克拉默法则的理论价值,定理,定理,2023/11/16,8,定理,定理,2023/11/16,9,用定义计算（证明）,例1用行列式定义计算,典型例题,2023/11/16,10,解,2023/11/16,11,注意,另外，此题还可用
2、Laplace证明。,2023/11/16,12,利用范德蒙行列式计算,例2计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,2023/11/16,13,2023/11/16,14,由范德蒙行列式知,2023/11/16,15,评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,2023/11/16,16,在D中补一行一列为Vandermonde行列式,例3,2023/11/16,17,20
3、23/11/16,18,用化上（下）三角形计算行列式,例4计算,2023/11/16,19,提取第一列的公因子，得,2023/11/16,20,2023/11/16,21,2023/11/16,22,评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的,2023/11/16,23,用降阶法计算,例计算,2023/11/16,24,2023/1
4、1/16,25,2023/11/16,26,2023/11/16,27,评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,2023/11/16,28,用拆成行列式之和（积）计算,例证明,证,(需介绍完，矩阵乘法后证),2023/11/16,29,用递推法计算,例计算,2023/11/16,30,解,2023/11/16,31,2023/11/16,32,2023/11/16,33,由此递推，得,如此继续下去
5、，可得,2023/11/16,34,2023/11/16,35,评注,2023/11/16,36,方法2,解,从第二列起每列减去第一列得：,2023/11/16,37,用从第二列起的每列消去第一列第二行起的得a：,2023/11/16,38,用数学归纳法,例证明,2023/11/16,39,证,对阶数n用数学归纳法,2023/11/16,40,2023/11/16,41,评注,2023/11/16,42,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几
6、种方法,小结,2023/11/16,43,当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解,三、克拉默法则,2023/11/16,44,证,2023/11/16,45,2023/11/16,46,2023/11/16,47,2023/11/16,48,例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克
7、，钾30克，问三种化肥各需多少千克？,解,2023/11/16,49,2023/11/16,50,例13,2023/11/16,51,解,2023/11/16,52,2023/11/16,53,2023/11/16,54,一、填空题(每小题4分，共40分),第一章 测试题,2023/11/16,55,2023/11/16,56,2023/11/16,57,2023/11/16,58,二、计算下列行列式(每小题9分，共18分),2023/11/16,59,有非零解？,三、解答题(9分),2023/11/16,60,四、证明(每小题8分，共24分),2023/11/16,61,2023/11/16,62,2023/11/16,63,五、(9分)设 行列式,求第一行各元素的代数余子式之和,2023/11/16,64,测试题答案,
