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1、第二章 方阵的行列式,1 n阶行列式的定义2 方阵行列式的性质3 展开定理与行列式的计算,第一节 n阶行列式的定义,1.1 n阶行列式的引出1.2 全排列及其逆序数1.3 n阶行列式的定义,设n阶方阵A=()，称为方阵A的行列式，记为 或detA。,行列式表示 个数的一种运算，它可以不依赖于方阵A而存在，通常用D表示。,用消元法解二元线性方程组,1.1 n阶行列式的引出,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,为了便于记忆，引进二阶行列式,其结果依“对角线法则”计算：,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为
2、原方程组的系数行列式.,例1,解,同理，按“对角线法则”，三阶行列式为,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,1.2 全排列及其逆序数,由n个自然数1,2,n按照任何一种次序排成的有序数组 称为一个n级排列，简称排列。,显然不重复的n级排列共有n!个。,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+
3、1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例2 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,
4、1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,定理1.1一次对换必改变排列的奇偶性。,证明：,先证相邻对换的情形。设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少1.,当 时，,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,再证一般情形。,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇
5、偶性.,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列,1.3 n阶行列式的定义,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积，称为行列式的一个均匀分布项，简称均布项;,5、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,4、的符号为,定理 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,定理
6、阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,例5 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例6,同理可得下三角行列式,例7 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例8计算对角行列式,解,注意：“对角线法则”不适用于三阶以上的行列式。,例9,证明,1、二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,小结,2、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,3、一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,4、行列式的三种表示方法,
