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1、线性定常系统的线性变换,第三章,本章介绍常用的线性变换方法，以及非奇异线性变换的一些不变特性。,3.1 状态空间表达式的线性变换,在前面学习建立系统动态方程时已经看到，选取不同的状态变量，可以得到不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定关系。,设系统动态方程为,令,式中，P为非奇异线性变换矩阵，变换后的动态方程为,式中,并称对系统进行P变换。线性变换的目的：揭示系统特性及分析计算。线性变换的影响：不改变系统原有的性质。,几种常用的线性变换关系1 化A阵为对角阵 设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值 1，2，n，则可由非奇异线性变换
2、化为对角阵。,P阵由A阵的实数特征向量 pi(i=1,2,n)组成,特征向量满足,设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n-m)个互异实数特征值。在求解Api=1pi(i=1,2,m)时仍有m个独立特征向量p1,p2,pm，仍然可使A阵化为对角阵。,若A为友矩阵，且有n个互异实特征值1，2，n，则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：,式中，pm+1,pm+2,pn为互异实数特征值对应的实特征向量。,设A阵具有m重实特征值 1，其余为 n-m 个互异实特征值，但在求解Api=1pi(i=1,2,m)时只有一个实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J。,2 化A阵为约当型,J中虚线表示存在一个约当块。式
3、中 p2,p3,pm为广义实特征向量，满足,若A阵为友矩阵，具有m重实特征值 1，且只有一个实特征向量p1，则使A约当化的P阵为,J中虚线表示存在一个约当块。式中 p2,p3,pm为广义实特征向量，满足,pm+1,pm+2,pn是互异特征值对应的实特征向量。,设A阵具有五重实特征值 1，且只有两个独立实特征向量p1,p2,其余为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存在两个约当块。,3 化可控系统为可控标准型,已知单输入线性定常系统的状态方程的可控标准型为,与之相对应的可控性矩阵S为,S是一个右下三角形，主对角线元素均为1，故 detS0，系统一定可控。,任何一个可
4、控系统，当A，b 不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。,已知可控系统的状态方程为,进行P-1 变换，即令,变换为,要求,？如何确定变换矩阵P,推导变换矩阵P：,P应该满足式（3-227），有,展开得,假设变换矩阵P为,整理后得,由此可得变换矩阵P,又根据b阵变换要求，P应该满足式（3-227），有,即,计算可控性矩阵Sb Ab An-1b;计算可控性矩阵的逆阵S-1,设一般形式为,故,上式表明，p1是可控矩阵的逆阵的最后一行。因此可得出变换矩阵P-1的求法：,取出 S-1的最后一行，构成p1行向量,构造P阵,P-1便是讲非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵,3.2 对偶
5、原理,对偶原理可使系统的研究更加方便。,设系统为S1(A,B,C)，则系统 S2(AT,CT,BT)为系统S1的对偶系统。特征方程分别为：,系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。S1与S2互为对偶系统。特点：S1的可控性矩阵与S2的可观测性矩阵完全相同。,S1的可观测性矩阵与S2的可控性矩阵完全相同。,可把可观测的SISO系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。,利用已知的化可控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤：,列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 V2）,求V2的逆阵V2-1，且记为行向量组,取V2-1的第n行nT，并按下列规
6、则构造变换矩阵P,求P-1，引入P-1变换,对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为,与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需要进行PT变换，即令,其中，,n为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。,3.3 非奇异线性变换的不变性,1 变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为,令线性变换,线性变换后的动态方程为,系统变换后与变换前的特征值完全相同。,?非奇异线性变换后，系统的固有特性是否会改变？系统特征值；？系统传递矩阵；？系统可控、可观测性；,设系统的动态方程为,2 变换后系统传递矩阵不变,3 变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为,系统变换
7、后，可控性矩阵的秩相同，系统的可控性不变。,变换后系统的传递矩阵为,变换前后系统的传递矩阵完全相同。,4 变换后系统可观测性不变,变换前后系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。,变换后系统的可观测性矩阵为V，变换前系统的可观测性矩阵为V，则,3.4 线性定常系统的结构分解,定义、意义、方法和过程,意义：研究规范系统分解能更明显地揭示系统结构特性、传递特性，并 与稳定性分析、反馈校正等密切相关。,过程：可以先从整个系统的可控性分解开始，将可控、不可控的状态变量分离开，继而分别对可控。不可控子系统进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。,1 系统按可控性分解,设不可控系
8、统动态方程为,系统可控性矩阵的秩为r（r n），从可控性矩阵中选出r个线性无关的列向量 s1,s2,sr，另外再任意选取尽可能简单的（nr）个列向量sr+1,sr+2,sn，使它们与 s1,s2,sr 线性无关，这样就可以构成（nn）非奇异变换矩阵,对式（3249）进行非奇异线性变换，,式（3249）便变成下列的规范表达式,展开式（3251），有,将输出量进行分解，可得可控子系统、不可控子系统的动态方程分别为：可控子系统动态方程,不可控子系统动态方程,系统结构的可控性规范分解具有下列特点：由于,设一个可控性规范分解系统为,由于选取非奇异变换阵P-1的列向量s1,s2,sr，及sr+1,sr+2
9、,sn，的非唯一性，虽然可控性规范分解的形式相同，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。,因而r维系统 是可控的，并且与(A,B,C)具有相同的传递函数矩阵。如果从传递函数的角度分析系统(A,B,C)时，可以等价地用分析子系统 来代替，由于后者维数已经降低，可能会使分析变得简单。,输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特征。,设另一个可控性规范分解系统为,由于,故,线性定常系统完全可控的充要条件是，系统经过非奇异线性变换不能化成（3-251）的形式。对于维数较大系统的可控性判别，这是一种好方法。,例332 已知系统（
10、A，b，c）如下，试按可控性进行分解。,解 计算可控性矩阵的秩,续,可控子系统动态方程为,不可控子系统动态方程为,2 系统按可观测性分解,观测矩阵的秩为l（ln），在V中任意选取l 个线性无关的行向量t1,t2,tl，此外再选取 n-l 个与之线性无关的行向量 tl+1,tn，构成非奇异线性变换阵,设不可观测系统动态方程如下，其可观测矩阵的秩为l（ln）,系统的可观测矩阵,对式（3-261）进行非奇异线性变换,可得系统结构按可观测性分解的规范表达式,展开式（3265），有,可观测子系统动态方程为,不可观测子系统动态方程为,例3-34 试将例332所示系统按可观测性进行分解,解 计算 可观测性矩
11、阵的秩,故不可观测，从中选出两个线性无关的行，附加任意一行，构成非奇异变换矩阵T并计算变换后各矩阵,可观测子系统动态方程为,不可观测子系统动态方程为,3 系统结构的规范分解（按可控性、可观测性分解）,先对系统进行可控性分解，即引入状态变换,其To1基于可控子系统得可观测性矩阵来构造。最后对不可控子系统进行观测性分解，即引入状态变换,设不可控、不可观测系统动态方程如下，,其To2基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。,综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系,当系统（A、B、C）引入该 T-1 变换后，能将系统变换为下列规范构造形式,展开上式可得可控、可观测子系统动态方程为,可控、不可观测子系统
12、动态方程为,不可控、可观测系统动态方程为,不可控、不可观测系统动态方程为,传递函数矩阵仅描述可控、可观测子系统的特性。是对系统结构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入-输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。,例3-35 设不可控且不可观测定常系统的动态方程为下式，试将系统按可控性或可观测性分解为规范型，然后再按可控性与可观测性对系统进行结构分解。,解 1）系统按可控性分解。首先确定系统可控状态的维数。系统可控性矩阵为,rankS=2，系统不可控，起可控状态维数为2,选取系统变换为可控规范的变换阵,其中p3是任选的，并与b,Ab线形无关的列向量，求得,由变换阵P确定的可控规范型为,故有,其中可控子系统为,不可控子系统为,2）系统按可观测性分解。确定系统可观测状态维数：,系统不可观测，其可观测状态维数为2。选取可观测规范型的变换阵，,求得,由变换阵T确定的可观测规范型为,其中可观测子系统为,故有,不可观测子系统为,3）系统按可控性、可观测性分解在上述系统按可控性分解的规范型中，可控子系统的可观测性矩阵为,所以可控子系统是不完全可观测的，按可观测性分解，其变换阵为,而一维不可控子系统显然是可观测的，可令其变换阵T2=1，T1和T2构成分快对角阵,故按可控性、可观测性分解的结果为,引入变换，对按可控性分解后的系统再按可观测性进行分解，得,
