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1、第四章 线性系统的能控性和能观性,4.1 能控性和能观性的定义,4.1.1 问题的提出能控性问题 已知某系统的当前时刻及其状态，试问是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下于有限时间后到达某希望的待定状态？能观性问题 已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，试问可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？,而由始点达到原点，因而系统为完全能控；但输出,都可通过选择输入,既无直接联系，也无间接联系，所以系统是不完全能观测的。,如若初始状态,则不论将输入,取为何种形式，对所有,总只能是,即不可能做到使,。这表明此电路不完全能控。,4.1.2 能控性的定义,定义 对于线性时变系
2、统,是系统在,定义 对于线性时变系统,上是完全能控的。,说明 定义中要求在可找到的输入 的作用下，使,上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标系原点。而对于状态转移的轨迹并不加以限制和规定。这就是说，能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。,说明 定义中提到的所谓无约束的容许控制，无约束表示对输入的每个分量的幅值不加以限制，即可取为任意大到所要求的值，容许控制则表示输入的所有分量均是在,来定义的，这对于时变系统是完全必要的。如果所考虑的为线性定常系统，则其能控与否和,说明 上述定义中都规定为由非零状态转移到零状态，如果将其变更为由零状态达到非零状态，则称这种情况为状态能达的。对于连续的线性定常系
3、统，能控性和能达性是等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价地的。可以出现这样的情况，系统是不完全能控的，但却是完全能达的。,系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，系统中组成元件的参数值的很小的变动（这在实际情况中是完全可能的）都可使其成为完全能控。所以对于一个实际的系统，系统为能控的概率几乎等于1。换句话说，如果随机地选取系统地系数矩阵 和 的元，那么使系统为完全能控的概率几乎等于1。,4.1.3 能观测性定义,能观测性表征系统的状态是否可由系统的输入和输出完全反映。,定义 对于线性时变系统,如果对取定初始时刻,的一个非零初,始状态,上的系统输出,可以唯一地决定系统的初始状
4、态,为能观测的。,定义 对于线性时变系统,系统均是在,，如果状态空间,中存在一个或一些非零状态在时刻,是不能观测的。则称系统在时刻,4.2 线性时变系统的能控性判据,4.2.1 Gram矩阵判据,的状态转移矩阵。,4.2.2 基于状态转移矩阵的判据,定理 假设,和,都是,4.2.3 基于系统参数矩阵的判据,定理 假设系统,令,时刻能控。,4.3 线性定常系统的能控性判据,4.3.1 定常系统能控性的特殊性,引理 设定常线性系统,在某,4.3.2 能控性矩阵判据,定理 定常线性系统,能控的充分必要条件是:,那么它能控的充分必要条件是:,4.3.3 PBH判据,推论 定常线性系统,能控的充分必要条
5、件是它没有输入解耦零点。,能控的充分必要条件是，对于系统矩阵,的每个左特征向量,的特征值（或者说系统的极点）进行分类。,，并且满足,叫做该系统的一个不能控振型。,4.4 对偶原理与能观测性判据,4.4.1 Gram矩阵判据,定理 已知线性系统,它在,时刻完全能观测的充分必要条件是，存在某个有限时刻,，使得矩阵,是正定的。,时刻完全能控。,4.4.2 对偶原理,引理 线性系统,4.4.3 能观性判据,能观的充分必要条件是，存在某个有限时刻,上列线性独立，即对任意的非零向量,有,定理 已知系统,，假设,和,分别是,并令,如果存在某个时刻,那么系统,定理 定常线性系统,推论 定常线性系统,完全能观测
6、的充分必要条件是它没有输出解耦零点。,4.5 系统的能控、能观性指数,4.5.1 线性系统的能控性指数,推论 对于单输入系统，也即,时，系统的能控型指数为,。,推论 线性定常系统,完全能控的充分必要条件时,的最小多项式的次数，则能控性指数,引理 令,可进而表为,4.5.2 线性系统的能观性指数,若把 表示为,从 开始搜索 个线性无关的行,考虑到 的秩为,将这 个线性无关的行重新排列:,通常称 为系统 的能观测性指数集,显然有:和,的最小多项式的次数，那么上式还可表示为,的能观测性指数和能观测性指数集，我们有1若,2如果令,3当对该系统作线性非奇异变换时，,都保持不变。,推论 若,4.6 单输入
7、单数出先行系统的能控规范型和能观规范型,其中,其中,这里:,完全能控，则其传递函数为,其特征多项式如式（）所示，则在线性非奇异变换,4.6.2 单输入-单输出系统的能观测规范型,定理 对完全能控的单输入单输出线性定常系统,下，可导出其第一能观规范型为:,定理 对完全能观测的单输入单输出线性定常系统,则，在线性非奇异变换,下，可导出其第二能观规范型为:,于是，又可定出能观测规范型中的状态向量为,命题 代数等价的单变量完全能观测系统具有相同的第一或第二能观规范型。,命题 第一（二）能控规范型和第一（二）能观规范型是互为对偶的。,4.7 多输入-多输出线性系统的能控规范型和能观规范型,4.7.1 两
8、种搜索方案给定系统的状态方程和输出方程为其中,为 常阵；和 分别为 和 常阵。,其能控性判别阵 和能观测性判别阵分别是为了找出 中的 个线性无关的列（行），通常可使用格栅来进行，并可有两种搜索方案,方案1列搜索 对给定（,），按图.所示构成格栅图。按列搜索 与前面线性无关列的线性相关性一直到 时，搜索结束。,方案2行搜索 对给定（,），按图.2所示构成格栅图。按行搜索,如果，那么 中的 个列是线性无关的，在第一行中从 起依次找到 个线性无关的向量，并搜索以下的行，直到找到 个线性无关的向量为止。用 表示第 列 中“”格的长度，那么就可以得到一个指数集合 它即是系统的能控性指数集。,4.7.2
9、多输入-多输出系统的Wonham能控制规范型,Wonham能控制规范型的求取第一步:判断多输入-多输出线性定常系统 是否为完全能控,如否，则不存在能控规范 型.第二步:表,按前搜索方案找出能控性矩阵的 个线性无关的向量为：其中：,定理 对完全能控的多输入多输出线性定常系统,基于算法求取的系统在线性非奇异变换,下的代数等价系统,第三步:取变换阵为,第四步:计算,具有Wonham第一能控规范型的形式,其中：,算法.2 Wonham第二能控制规范型的求取,第一步至第三步:同算法,第四步:计算矩阵,并将其表为如下形式,第五步:取矩阵 的每个块中的末行 按下述方式构造变换矩阵:,第六步:计算,定理 对完
10、全能控的多输入多输出线性定常系统,基于算法求取的系统在线性非奇异变换,具有Wonham第二能控规范型的形式:,下的代数等价系统,其中:,4.7.3 Luenberger能控规范型,Luenberger能控规范型的求取第一步:判断多输入-多输出线性定常系统是否为完全能控,如否，则不存在能控规范型。第二步:按搜索方案II找出其能控性矩阵,为系统的能控性指数集。,定理 对于完全能控的多输入多输出线性定常系统,，,算法 Luenberger第二能控规范型的求取,第一步至第三步:同算法,第六步:计算,定理 对于完全能控的多输入多输出 线性定常系统,，,从中按方案选取线性独立列向量得矩阵,容易计算,做矩阵
11、,不难计算,决定得系统就是所要求得Luenberger第二能控标准型。,4.7.4 线性系统的能观规范型,定理 考虑完全能控的多输入多输出线性定常系统,则其Wonham第一能观测规范型在形式上对偶于Wonham第二能控规范型，即,其中,定理 考虑完全能控的多输入多输出线性定常系统,则其Wonham第二能观测规范型在形式上对偶于Wonham第一能控规范型，即,其中,，则其Luenberger第一能观测规范型在形式上对偶于Luenberger第二能控规范型，即,定理 对于完全能观测的多输入多输出线性定常系统,设其满足,其中,，则其Luenberger第二能观测规范型在形式上对偶于Luenberge
12、r第一能控规范型，即,定理 对于完全能观测的多输入多输出线性定常系统,设其满足,其中,4.8 线性系统的结构分解,4.8.1 能控性和能观测性在线性非奇异变换下的属性,为两者的能观测性矩阵。,命题 设,的元是对,的绝对连续函数，且,对一切,均不降秩，,记系统,和,Gram能控矩阵分别为,则有,4.8.2 线性定常系统按能控性的结构分解,算法 能控性结构分解的求取,第一步:列写线性定常系统的能控性矩阵并求出,第二步:在能控性判别矩阵中任意选取 个线性无关的列,记为。此外，在 维实数空间中任意选取 个列向量，记为，使得 为线性无关。第三步：按下述方式组成变换矩阵 第四步：计算,定理 对不完全能控系
13、统,利用算法求得系统在线性非奇异变换,下代数等价系统,具有下述结构按能控性分解的规范表达式,维能控分状态向量，即,维不能控分状态向量，,于是可算得,这样就导出了系统按能控性分解的表达式为,4.8.3 线性定常系统按能观测性的结构分解,算法 能观性结构分解的求取,第一步：列写系统的能观测性判别矩阵,并计算第二步：在 中任意选取 个线性无关的行向量，此外再任意选取个行向量，使得 线性无关。,第四步：计算,第三步：按下述方式构成变换阵：,定理 对不完全能观测系统,基于算法求得系统在线性非奇异变换,下代数等价系统,具有结构按能控性分解的规范表达式,其中，,维能控分状态向量，即,4.8.4 线性定常系统
14、结构的分解,定理（规范分解定理）对不完全能控和不完全能观测的系统,通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，起规范分解的表达式为,其中:,其输入输出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观的那一部分，即成立,推论4.8.1 对不完全能控和不完全能观测的系统,4.9 线性系统的实现问题,4.9.1 问题的描述与解的存在性,问题RL 已知有理分式矩阵，求满足：的常值矩阵。如果这个问题有解，则由矩阵 决定的线性系统：叫做 的一个状态空间实现，简称实现。,能实现的充要条件是其为真有理分式矩阵，即它的每个元都是真有理分式。,阶有理分式矩阵，它存在使得,的实现的充要条件是，它为严格真有理分式矩阵，即它的每个元的分母的次数比分子的次数高。,4.9.2 能控、能观系统的传递函数特性,引理 系统,它完全能控和完全能观测的充要条件是,
