线性系统理论全.ppt

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1、第一部分:线性系统时间域理论,第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。,系统动态过程的数学描述,1/4,1/50,(1).系统的外部描述,外部描述常被称作为输出输入描述,例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:,复频率域描述即传递函数描述,(2)系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,状态方程和输出方程,(3)外部描述和内部描述的比较,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.

2、内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.,2/4,2/50,2.1 基本概念,2.1.1 定义,表示系统 时刻的状态,为,(7)状态空间表达式：(5)+(6).,状态变量的特点：,(1)独立性：状态变量之间线性独立.,(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案.,(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.,(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.,2.1.2 状态空间表达式的一般形式：,(1)线性系统,2.2 线性系统的状态空间描述,电路系统状态空间描述的列写示例,以上方程可表为形如,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统

3、的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。,1/7,5/50,机电系统状态空间描述的列写示例,上式可表为形如,2/7,6/50,连续时间线性系统的状态空间描述,动态系统的结构,连续时间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,线性时变系统,3/7,7/50,连续时间线性系统的方块图,4/7,8/50,人口分布问题状态空间描述的列写示例,假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%,设k为离散时间变量,x1(k

4、)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数,写成矩阵形式,5/7,9/50,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,6/7,10/50,离散系统状态空间描述的特点：,一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。）二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。）三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散

5、时刻k取值）。,离散时间线性系统的方块图,7/7,11/50,2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统。,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。,1/2,12/50,时变系统和时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,即,该系统称为时不变系统,若向量f,g显含时间变量t,即,该系统称为时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅

6、当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2/2,13/50,2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述,由输入输出描述导出状态空间描述,

7、对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,1/18,14/50,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,证明：设,2/18,15/50,可见,3/18,16/50,令,有,4/18,17/50,(2)mn,即系统为严真情形,写成矩阵形式：,5/18,18/50,结论2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=0情形,此时输入输出描述为:,选取n个状态变量,6/18,19/50,其对应的状态空间描述为

8、:,7/18,20/50,则状态空间表达式为：,选择状态变量：,(2)m0情形,此时输入输出描述为:,a:,8/18,21/50,其对应的状态空间描述为:,其中,9/18,22/50,b:,改写为,令,10/18,23/50,结论3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：,其极点即分母方程的根,为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：,(1)mn，即系统为严真情形,对应的状态空间描述为,11/18,24/50,(2)m=n，即系统为真情形,令,对应的状态空间描述为：,12/18,25/50,由方块图描述导出状态空间描述,例1,设系统方块图如下，试列写其状态空间描述,

9、解,上图等效为,指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：,13/18,26/50,写成矩阵形式,例2,设单输入单输出系统的传递函数为,试列写其状态空间表达式。,14/18,27/50,解,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,15/18,28/50,写成矩阵形式,16/18,29/50,也可以画出结构图为,可写出系统的动态方程为,17/18,30/50,例3,设,画出结构图,动态方程为,18/18,31/50,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,系统如图，二子系统并联连接,特点：,2.4.2 反馈,系统如图，二子系统并联连接,特点：,(1)动态反馈,传递矩阵：,2.5 线性时不变系统的特

10、征结构,特征多项式,连续时间线性时不变系统,(1)特征多项式,均为实常数,(2)特征方程式,(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理,1/6,32/50,这一定理揭示了线性时不变系统一特性：对系统矩阵A，有且仅有为线性无关，所有 都可表示为它们的线性组合。,(4)最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即（A）=0,(5)系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k，即,则称系统矩阵A是循环的。,(6)特征多项式的计算,2/6,33/50,基于迹计算的特

11、征多项式迭代算法,基于分解计算的特征多项式迭代算法,3/6,34/50,特征值,(1)特征值的代数属性,系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值,(2)特征值集,对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。,(3)特征值的形态,特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数,(4)特征值类型,系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型,4/6,35/50,(5)特征值的代数重数,代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数,(6)特征值的几何重数,(7)特征值重数和类型的关系,对n 维线性时不变系统，若i A为单特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必

12、 有,特征向量和广义特征向量,5/6,36/50,(1)特征向量的几何特性,(2)特征向量的不唯一性,(3)单特征值所属特征向量的属性,对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、2、n的相应一组特征向量v1、v2、vn为线性无关，当且仅当特征值1、2、n为两两互异。,广义特征向量,对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值，则,6/6,37/50,结论4,特征值为两两互异的情形,2.6 状态方程的约当规范形,对n个特征值1、2、n两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=v1、v2、vn，则状态方程,可通过线性非奇异变换,而化为约当规范形,包含复数特征

13、值情形的对角线规范形（略）,1/3,38/50,结论5,特征值包含重值的情形,对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值,那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令,可将系统状态方程化为约当规范形：,2/3,39/50,其中，Ji为相应于特征值i 的约当块：,3/3,40/50,2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵,传递函数矩阵,定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即,多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：,称G(s)为系统的传

14、递函数矩阵。,其中,1/4,41/50,(1)G(s)的函数属性,传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。,(2)G(s)的真性和严真性,当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的,(3)G(s)的特征多项式和最小多项式,(4)G(s)的极点,G(s)的极点定义为方程式,的根,2/4,42/50,(5)G(s)的循环性,若,称G(s)是循环的,(6)G(s)正则性和奇异性,G(s)基于(A,B,C,D)的表达式,考虑连续时间线性时不变系统,则,设G(s)的首一化特征多项式为G(s)，A的特征多项式为(s)，若,必有,若系统能控能观测，则,表G(s)的极点集合

15、G，A的特征值集合，若G，则G；若系统能控能观测，则G=。,3/4,43/50,结论7,G(s)的实用计算关系式,令,则,4/4,44/50,2.8 线性系统在坐标变换下的特性结论8,坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。,坐标变换的几何含义和代数表征,线性时不变系统状态空间描述为,引入坐标变换,则变换后系统的状态空间描述为,1/3,45/50,结论9,线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。,定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。,代数等价的系

16、统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。,2/3,46/50,结论10,线性时变系统在坐标变换下的特性,对线性时变系统,引入坐标变换,P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为,3/3,47/50,2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵,设,子系统并联,两个子系统可以实现并联联接的条件,1/3,48/50,并联后,子系统串联,两个子系统可以实现串联联接的条件是：,串联后,2/3,49/50,子系统反馈联接,设,两个子系统实现输出反馈联接的条件是,反馈联接后,3/3,50/50,第三章 线性系统的运动分析,31 引言,从数学

17、的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。,解的存在性和唯一性条件,设系统状态方程,如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间t0,t上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。,从数学观点，上述条件可减弱为：,系统矩阵A(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为绝对可积，即：,输入矩阵B(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为平方可积，即：,1/2,1/29,输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间t0,t上为平方可积，即：,条件可一步合并为要求

18、B(t)u(t)的各元在时间区间t0,t上绝对可积。,2/2,2/29,32 连续时间线性时不变系统的运动分析,系统的零输入响应,令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程,结论1.系统自治状态方程的解，具有以下形式,其中,若初始时间取为t00则,1/12,3/29,线性定常齐次状态方程的解,线性定常齐次状态方程的解又称为自由解、零输入响应。状态方程：给定初始时刻 时的状态向量值：则 任意时刻的状态：此即齐次状态方程的解。若初始时刻 则其解为：标量方程：证明：与标量微分方程的求解类似，先假设齐次状态方程的解X（t）为t的向量幂级数形式，即：假设,则：代入齐次状态方程得：两边比较系数，有：,其中，

19、把 代入得：上式括号内是一个nn矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即：于是，齐次状态方程的解可表示为：,矩阵指数函数的性质,（4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA,则有,2/12,4/29,矩阵指数函数的算法,1：定义法,2：特征值法,1）若,则,2）若,则,3/12,5/29,3）若,其中,则,其中,4/12,6/29,例,5/12,7/29,例,6/12,8/29,3：有限项展开法,设1、2、n为A的n个互异特征值,而,从中可求出1、2、n,若i为l重特征值，则相应的l个方程为,7/12,9/29,例,令,8/12,10/29,4：预解矩阵法,系统状态运动规律的基本表达式,设系统

20、的状态空间描述为,有表达式,对初始时刻t0=0情形有表达式,9/12,11/29,非齐次状态方程的解,状态方程：,基于特征结构的状态响应表达式,设系统的状态空间描述为,A的属于12n线性无关右特征向量组,A的属于12n线性无关左特征向量组,12n为A的n个两两相异的特征值,右特征向量矩阵,10/12,12/29,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式：,左特征向量矩阵,显然,11/12,13/29,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0 x(t)以及状态运动规律x(t)的表

21、达式为：,12/12,14/29,3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,设连续时间线性时不变系统，状态方程为：,基本解阵,矩阵方程,的解阵,称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。,其中H为任意非奇异实常阵,结论：(1).基本解阵不唯一(2).由系统自治方程,的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。,(3).连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为,1/7,15/29,状态转移矩阵,矩阵方程,的解阵(t-t0),称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。,结论：,1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出,2:状态转移矩阵(t-t0)唯一，与基

22、本解阵的选取无关。,3:状态转移矩阵的形式为,基于状态转移矩阵的系统响应表达式,2/7,16/29,状态转移矩阵的特性,3/7,17/29,线性时变系统的输出为：,假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：,则输出为,3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,4/7,18/29,定义：表hi j(t-)为第j个输入端在时刻加以单位脉冲(t-)而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-)为元构成的一个输出响应矩阵,结论：对p维输入，q维输出连续时间线性

23、时不变系统，假设初始状态为零，则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为,5/7,19/29,脉冲响应矩阵和状态空间描述,结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为,结论：两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵 两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。,结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系：,6/7,20/29,例,求脉冲响应矩阵,解,也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得,7/7,21/29,3.5连续时间线性时变系统的运动分析,

24、状态转移矩阵,设连续时间线性时变系统，状态方程为,对连续时间线性时变系统，矩阵方程：,的解矩阵(t,t0)称为状态转移矩阵。,矩阵方程,的解矩阵(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。,1/3,22/29,结论：基本解阵不唯一 对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程,的任意n个线性无关解为列构成,对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵,结论：状态转移矩阵为唯一,2/3,23/29,状态转移矩阵的性质,系统的状态响应,结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解,脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变

25、系统，其输出响应为：,3/3,24/29,3.6 连续时间线性系统的时间离散化,基本约定,1）对采样方式的约定 采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度比采样周期T小得多。2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定零阶保持方式,基本结论,给定连续时间线性时变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,1/3,25/29,其中,结论,给定连续时间线性时不变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,其中,结论,时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)

26、和G必为非奇异。,2/3,26/29,例：,线性定常系统的状态方程为,设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。,解,3/3,27/29,37 离散时间线性系统的运动分析,不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。,定义：矩阵方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解阵(k,m)称为离散时间线性时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。矩阵方程(k+1)=G(k),(0)=I的解阵(k),称为离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(

27、k)+Hu(k)的状态转移矩阵。,结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：（k,m）=G(k-1)G(k-2)G(m)离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为：,结论：(k,m)非奇异=G(i),I=m,m+1,k-1均为非奇异(k)非奇异=G非奇异 对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异。,1/2,28/29,结论：对离散时间线性时变系统，其解为：,对离散时间线性时不变系统，其解为,定义：对离散时间线性时不变系统,x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k),脉冲传递函数矩阵,定义为零初始条件下，满足,的一个qp有理分式矩阵,结论：离散时间线性时不

28、变系统，脉冲传递函数矩阵为,2/2,29/29,第四章线性系统的能控性和能观测性,41 能控性和能观测性的定义,线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1 t0的有限时间区间t0,t1内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。,定义,1/3,1/45,能控性，能达性定义,对连续时间线性时变系统,如果存在一个时刻,以及一个无约束的容许控制u(t),使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时

29、刻为能控。,如果存在一个时刻t1J,t1t0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。,*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。,定义：对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。,2/3,2/45,定义：对连续时间线性时变系统,和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零

30、状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。,定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。,能观测性定义,对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻

31、t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。,该系统是不完全能观测的,由于,可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。,3/3,3/45,42 连续时间线性系统的能控性判据,结论1：,线性时变系统,在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,证明,充分性,为非奇异时，系统能控,说明系统是能控的,1/8,4/45,反证法,必要性,是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。,由于,是奇异的，故,的行向量在t0,t1上线性相关，必存在非零的行向量，使在t0,t1区间成立，若选择非

32、零的初始状态x(t0)=T,则,说明=0,矛盾,2/8,5/45,结论2：,连续时间线性时不变系统：,完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵,为非奇异。,结论3：n 维连续时间线性时变系统,设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义,则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使,3/8,6/45,结论4,对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵,满秩，即rankQ c=n,结论5,n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rankSI-AB=n,或,为系统特征值,结论6：n 维连续时间线性

33、时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=i T，TB=0 的左特征向量T=0。,4/8,7/45,结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。,结论8：对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。,5/8,8/45,例,图示电路，判断系统能控性条件,解,选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：,6/

34、8,9/45,（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。,例,系统能控的充分必要条件是向量组bl11、bl12、bl13线性无关以及bl21线性无关（即不为零）。,7/8,10/45,定义：令,对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=n”成立的最小正整数k。,结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。,结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足,设,为矩阵A的最小多项式次数，则,结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，

35、且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：,8/8,11/45,43 连续时间线性系统的能观测性判据,结论1：,线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵,为非奇异矩阵,结论2：,连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵,为非奇异。,1/5,12/45,结论3：,n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义,则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使,2/5,13/45,结论4,对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别

36、矩阵,满秩，即rankQ o=n,结论5,n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：,或,为系统特征值,结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足,的右特征向量,3/5,14/45,结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。,结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列

37、向量线性无关。,4/5,15/45,定义：令,完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 使“rankQk=n”成立的最小正整数。,结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为n。,结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则,设,为矩阵A的最小多项式次数，则,结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：,5/5,16/45,4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据,时变系统的能控性和能观性判据,定义,离散时间线性时变系统,如果对初始时

38、刻hJk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻lJk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控；,如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻lJk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。,结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵,为非奇异,1/8,17/45,结论2 若系统矩阵G(k)对所有 kh,l-1 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控的充分必要条件为，存在时刻

39、lJk,lh，使格兰姆矩阵,为非奇异,若系统矩阵G(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。,若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,2/8,18/45,时不变系统的能控性和能达性判据,结论3 离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l 0，使格兰姆矩阵,为非奇异。,若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l 0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的

40、充分条件。,3/8,19/45,结论4 n维离散时间线性时不变系统,系统完全能达的充分必要条件为矩阵,满秩,若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。,若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。,结论5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制,则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。,若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。,若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。,4/8,20/

41、45,例,设单输入线性离散系统的状态方程为,试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。,解,系统是能控的,5/8,21/45,令,若令,无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。,6/8,22/45,时变系统的能观测性判据,结论6 离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,l h,使格兰姆矩阵,为非奇异,时不变系统的能观测性判据,结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散

42、时刻l0,使格兰姆矩阵,为非奇异,7/8,23/45,结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为,满秩,结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态,8/8,24/45,4.5 对偶性,定义：对连续时间线性时变系统,其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统,其中,状态X为n维行向量,协状态为n维行向量 输入u为p维列向量,输入为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出为p 维行向量,结论10:原构系统的状态转移矩阵,与对偶系统的状态转移矩阵,之间满足如下关系,1/2,25/45,结论11 设为原构线性系统,d为对偶线性系

43、统,则有,完全能控 d 完全能观测,完全能观测 d 完全能控,2/2,26/45,4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件,设连续时间线性时不变系统,对应的时间离散化系统,其中G=eAT H=,A的特征值,结论12 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。,证明,用反证法,设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则,rankH、GH、G2H、Gn-1H=n,1/3,27/45,容易验证,为可交换阵，故,由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故,连续系统是能控的，矛盾。,本定理也可叙述

44、为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。,2/3,28/45,结论13：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：,不是A的特征值。其中k为非零整数,结论14 对时间离散化，使采样周期T的值,则时间离散化系统能控的充分必要条件是,eATB为行线性无关,结论15 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使,成立,对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。,3/3,29/45,4.7能控性、能观测性

45、与传递函数的关系,结论16 如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消,结论17 单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。,结论18 单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。,证明：单输入、单输出系统动态方程为,如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为

46、对角阵。即：,1/4,30/45,状态方程可写为：,在初始条件为零的情况下，拉氏变换得,对输出方程拉氏变换,此式即为传递函数的部分分式,2/4,31/45,若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的。,3/4,32/45,例,设单输入、单输出系统的传递函数,由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。

47、,结论19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵,的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）,结论20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵,的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）,4/4,33/45,48能控规范形和能观测规范形：SISO情形,结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。,定义 一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：,则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形,1/5,34/45,结论22：对完全能控n维单

48、输入单输出连续时间线性时不变系统,则通过变换矩阵,2/5,35/45,可将系统变换成能控规范形，即,导出,3/5,36/45,定义 一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：,则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形,结论23：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换,导出,4/5,37/45,其中,5/5,38/45,49 能控规范形和能观测规范形MIMO情形,旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形,1/1,39/45,410连续时间线性时不变系统的结构分解,系统按能控性分解,设不能控系统的动态方程

49、为,其能控性矩阵的秩为 rn，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1,其中,1/6,40/45,经非奇异变换后，系统的动态方程写为,于是可得能控子系统动态方程为：,不能控子系统动态方程为,2/6,41/45,例,已知,试按能控性进行规范分解,解,系统不完全能控，取,能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,3/6,42/45,系统按能观测性分解,设不能观测系统的动态方程为,其能观测性矩阵的秩为ln，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T,能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,4/6,43/45,系统按能控性和能观测性的标准分解,设

50、系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令,再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解,最后得到,5/6,44/45,经T-1变换后，系统的动态方程为,能控、能观测子系统动态方程为：,能控、不能观测子系统动态方程为,不能控、能观测子系统动态方程为,不能控、不能观测子系统动态方程为,6/6,45/45,第5章 系统运动的稳定性,51 外部稳定性和内部稳定性,定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)1,的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即,结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0