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1、1,结构力学,2,结构静力分析篇,3,第三章 结构位移计算,3-1 变形与变形能,材料力学知识：,拉压变形（应变）：,弯曲变形（曲率）：,剪切变形（剪切角）：,扭转变形（扭转角）：,4,第三章 结构位移计算,微段应变能：,拉压应变能：,弯曲应变能：,剪切变形（剪切角）：,扭转变形（扭转角）：,5,第三章 结构位移计算,3-2 变形体虚功原理,3-2-1 变形体虚功原理,表述：任何一个处于平衡状态中的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚功We恒等于变形体所接受的总虚变形功Wi。,We=Wi,6,第三章 结构位移计算,原理说明：,虚功原理中涉及两种状态：变形体处于平衡
2、的力状态；满足协调的位移状态。,虚功原理对任意本构关系的可变形物体都适用,虚功原理对任意结构形式都适用。,虚功原理在受力平衡和位移协调前提下恒有We=Wi的结论只是一个必要性命题。,7,第三章 结构位移计算,由虚功原理派生出的虚位移原理和虚力原理是在加进新的条件下的应用，所以多少还是有所区别的。,平衡的变形体上的广义力和相对应的广义位移之积形成虚功。“虚”表明作功的双方是相互独立无关的。,Wi的表示全部外力（包括外荷载和截面内力）在变形虚位移上所作功的总和，将它理解为虚内力功是有偏颇的。,8,第三章 结构位移计算,3-2-2 杆系结构的虚功方程,适用于一切杆系结构,9,第三章 结构位移计算,3
3、-3 单位荷载法,3-3-1 结构位移,形状的改变称变形；位置的改变称位移,无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还是相对位移统称广义位移,AX,BX,AB=AX+BX,10,第三章 结构位移计算,3-3-2 单位荷载法,将待求位移的结构状态视为虚功原理中的“虚位移状态”；再建立一个与待求广义位移对应的、平衡的力状态。利用虚功原理得表达式：,11,第三章 结构位移计算,是广义力引起的广义内力，也可理解为单位广义力引起的内力影响函数，因此其量纲并不是力的量纲。,12,第三章 结构位移计算,3-3-3 各种外因下的位移计算公式,1 仅荷载引起的结构位移,2 仅支座移动引起的结构位移,3 仅温度改变引
4、起的结构位移,13,第三章 结构位移计算,4 其它外因引起的结构位移,安装误差，弹性支座等因素引起的位移都可以认为是杆件产生的变形，利用虚功原理处理。,5 荷载作用下各类结构的位移计算公式,桁架结构,刚架及梁,小曲率拱,14,第三章 结构位移计算,6 需要注意的问题,结构是否是线弹性结构,位移计算公式中各项的物理意义,正负号规定：广义力和广义位移同方向，功为正,位移计算公式对直杆是精确解；对小曲率杆是近似解；对大曲率杆需考虑曲率影响,15,第三章 结构位移计算,3-4 图乘法,3-4-1 图乘法原理,在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单的计算位移的法。,受弯为主的构件位移
5、计算常遇到积分公式：,利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘,称莫尔积分,16,第三章 结构位移计算,对于直杆,对直线弯矩图,对于等刚度杆,17,第三章 结构位移计算,3-4-2 需要的注意问题,方法使用条件,1、等刚直杆,2、至少有一直线图,和 yc取若在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负。,拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解,应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置,3、yc应取自直线图中,18,第三章 结构位移计算,常见图形面积和形心：,矩 形,三角形,抛物形,19,第三章 结构位移计算,3-5 外因引起的位移计算,例题1,20,第三章 结构位移计算,例题2,需要采
6、用数值积分,求顶点的位移,21,第三章 结构位移计算,练习,求C点竖向位移及AC杆与CB杆的相对转角,22,第三章 结构位移计算,练习,求简支梁B端转角及梁中点竖向位移,23,第三章 结构位移计算,练习,求简支刚架B点和C点的水平位移,24,第三章 结构位移计算,练习,求三铰刚架E点两侧截面的相对转角和E点的竖向位移,25,第三章 结构位移计算,练习,如图支座移动时，求铰B两侧的相对转角。,26,第三章 结构位移计算,练习,如图刚架，内部温度不变，外部温度升高20，材料线膨胀系数10-5-1，杆截面高度0.4m，求B点水平和竖向位移。,27,第三章 结构位移计算,练习,如图具有弹性支座的梁，求
7、K点竖向位移。,28,第三章 结构位移计算,练习,如图桁架的上弦杆均做长8mm，求由此引起的K点竖向位移。,29,第三章 结构位移计算,3-6 互等定理,3-6-1 功的互等定理,材料满足线弹性，小变形的假设,30,第三章 结构位移计算,功的互等定理：处于平衡且满足协调的两个状态1、2，状态1 的外力在状态2 的位移上所作的总虚功等于状态2 的外力在状态1 的位移上所作的总虚功。,31,第三章 结构位移计算,3-6-2 位移互等定理,32,第三章 结构位移计算,位移互等定理：同一结构，在位置1 作用单位力引起位置2 处的位移，等于在位置2 作用单位力引起位置1 处的位移。,ij 表示位移影响系
8、数，或称柔度系数。注意它不具备位移的量纲。,ij ji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。,33,第三章 结构位移计算,3-6-3 反力互等定理,34,第三章 结构位移计算,反力互等定理：同一结构，在支座1 产生单位位移引起支座2 处的反力，等于在支座2 产生单位位移引起支座1 处的反力。,kij 表示反力影响系数，或称刚度系数。注意它不具备力的量纲。,kij kji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。,35,第三章 结构位移计算,3-6-4 位移反力互等定理*,36,第三章 结构位移计算,位移反力互等定理：同一结构，在位置1 处作用单位荷载引起支座2 处的反力等于支座2 处产生单位位移引起位置1
9、 处的位移，唯符号相反。,ij kji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。,37,第三章 结构位移计算,3-7 结论与讨论,3-7-1 结论,变形体虚功原理的前提是平衡的力系，协调的位移，结论是虚功方程恒成立。它适合于一切变形体。,广义单位力实质上是个比例系数，不具备力的量纲。,注意图乘法的适用条件。一般图形如何分解为几个标准图形的叠加。,38,第三章 结构位移计算,各种条件下的位移计算公式应用，注意正负号的取用原则。,能引起位移的因素很多，但牢记单位荷载法的实质是虚功这一核心，可以以不变应万变。,线弹性小变形结构满足虚功互等定理，进而衍生出位移互等定理、反力互等定理和位移反力互等定理。互等表明
10、不仅数值相等而且量纲相同。,39,第三章 结构位移计算,3-7-2 讨论,虚功原理要求力系平衡，位移协调，结论是虚功方程恒成立。当改变前提条件时，结论也将改变 在给定力系时，如果位移是虚设的、协调的、任意的，则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是力系是平衡的。这一命题称为虚位移原理。在给定位移时，如果力系是虚设的、平衡的、任意的，则可以证明虚功方程恒成立的充要条件是位移是协调的。这一命题称为虚力原理。,40,第三章 结构位移计算,实际计算时，对于截面高度与曲率半径的比值较小的曲杆，按直杆计算误差并不大。其原因是曲杆结构中截面形心轴与中性轴不重合，荷载作用下的截面弯矩MP不只引起截面转角，也引起形心轴的线位移；FNP不只引起形心轴的线位移，也引起截面转角，所以直杆位移计算公式不再成立。,41,第三章 结构位移计算,以矩形截面曲杆为例：FNP引起的轴向应变,FNP引起的截面相对转角,MP引起的截面相对转角,MP引起的轴向应变,42,第三章 结构位移计算,曲杆结构位移计算公式,End,在推导温度改变引起的位移计算时，假设杆件截面对中性轴对称，而实际工程结构中的构件不一定都对称。不对称时位移计算公式如何修改？,对非线弹性材料，必须具体考虑材料的力学行为，代入公式得到相应的位移计算公式,
