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1、,第六章 结构位移计算,A,结构位移计算,第六章 结构位移计算,61 概述,62 变形体系的虚功原理,63 位移计算的一般公式,64 静定结构在荷载作用下的位移计算,65 图乘法,66 静定结构温度变化时的位移计算,67 静定结构支座移动时的位移计算,68 线弹性结构的互等定理,61 概 述,1.变形和位移,在荷载作用下，结构将产生变形和位移。,变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。,2.位移的分类,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(A),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,CD=C+D,结构位移计算,返 回,C,D,3
2、.计算位移的目的,（1）校核结构的刚度。（2）结构施工的需要。,除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。,结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。,（3）为分析超静定结构打基础。,起拱高度,结构位移计算,返 回,62 变形体系的虚功原理,1.功、实功与虚功,A,dW=P,w=,（a）,（1）功,P,dS,S,B,dS,Cos,dW,=,P,Cos,dS,结构位移计算,返 回,常力功,W=,(b),变力功,由AB,W=,（c）,力偶功,P,P,A,B,（d）,d,P,A,B,常力
3、 W=,变力 W=,P,Cos,2,1,P,Cos,M,2,1,M,力由0P,M=Pd,结构位移计算,返 回,（2）实功与虚功,实功：,A,B,P1,1,虚功：,W=,A,B,P2,2,力在其它因素引起的位移上所作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。,例如：,例如：,W12=P12,力在本身引起的位移上所作的功。,1,2,结构位移计算,返 回,2.变形体的虚功原理：变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即,W外=W内,或写成,W=Wi（61）,式(61）称为虚功方程，式中,W,W
4、i,外力虚功,内力虚功,结构位移计算,返 回,A,B,力状态,P,q,M,dS,内力虚功的计算,给定力状态,RA,RB,给定位移状态,位移状态,dWi=Ndu+QdS+Md,Wi=,微段dS上内力的变形虚功为,整个结构内力的变形虚功为,（62),虚功方程为,W=,（63),q,N,N+dN,Q,Q+dQ,M,M+dM,dS,ds,dS,du,dS,dx,d,dS,A,B,结构位移计算,返 回,1.位移计算的一般公式,设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 如图示。,P2,P1,K,k,k,K,K,利用虚功原理计算,c1,c2,c3,k,k,PK=1,实际状态位移状态,c1
5、、c2、c3、Kdu、d、ds,ds,虚拟状态力状态,ds,K,外力虚功,W=,=,内力虚功,Wi=,可得,求任一指定截面K 沿任一指定方向 kk 上的位移K。,(75),t1,t2,(64),这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移K与假设的 PK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。,结构位移计算,63 位移计算的一般公式 单位荷载法,返 回,2.虚拟状态的设置,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。,例如:,A,求AH,实际状态,虚拟状态,A,1,A,求A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,求AB,1,1,B,求AB,
6、1,1,广义力与广义位移,结构位移计算,返 回,64 静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故式（64）为,KP=,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知,（a）,dP=,duP=,Pds=,将以上诸式代入式（a）得,KP=,（65）,这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,结构位移计算,返 回,讨 论,1.梁和刚架,KP=,（66）,2.桁架,KP=,（67）,3.组合结构,KP=,（68）,在实际计算时，根据结构的具体情况,式（65）可以简化：,结构位移计算,返
7、回,例 61 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1.设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,AB段：,x,BC段：,2.实际状态中各杆弯矩方程为,AB段：,BC段：,MP=,MP=,x,x,3.代入公式（66）得,Ay=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,结构位移计算,返 回,65 图 乘 法,KP=,当结构符合下述条件时：,（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；,上述 积分可以得到简化。,MP图,和M两个弯矩图
8、中至少有一个是直线图形。,（3）,x,y,面积,设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，,为一段直线，MP图为任意,形状，,A,B,O,则上式中的ds可用dx代替。,A,B,MP,dx,故有,=xtg,且tg=常数，则,d=MPdx,x,EI,tg,xMPdx=,EI,tg,xd,结构位移计算,1.图乘法:计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,返 回,MP图,x,y,形心,C,面积,A,B,O,A,B,MP,dx,d=MPdx,x,xC,有,yC,yC=xCtg,则积分运算化简为一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标 yC。,如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算
9、公式（66）可写成,KP=,(69),而,EI,xd,tg,EI,xC,tg,EI,yC,EI,yC,结构位移计算,返 回,2.图乘法的注意事项,（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。,3.常用的几种简单图形的面积和形心,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,结构位移计算,返 回,L,h,二次抛物线,顶点,L/2,二次抛物线,L,h,4L/5,L/5,3L/8,5L/8,1,2,1=2/3(hL),2=1/3(hL),顶点,结构位移计算,返 回,4.图乘的技巧,当图形的面
10、积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。,例如：,MP图,a,b,c,d,L,则,ya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d,MP图,a,b,c,d,ya,yb,此时,ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3c,yb,ya,结构位移计算,返 回,MA,QA,MA,QB,MB,MB,对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。,叠加后的抛物线图形（）与原抛物线图形（）的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是相同的。,A,B,L,结构位移计算,返 回,当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
11、截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,1,2,3,y1,y2,y3,1,2,3,y1,y2,y3,=,(1y1+2y2+3y3),I1,I2,I3,=,结构位移计算,返 回,例 62 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1.作实际状态的MP图。,MP图,2.设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,yC=h,3.按式（69）计算,（）,CD=,EI,yC,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L),h,=,12EI,qhL,2,形心,结构位移计算,返 回,例 63 求图示刚架A点的竖向位移Ay。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L
12、,L/2,解：1.作MP图、,P,PL,MP图,1,L,；,2.图乘计算。,Ay=,（）,EI,yC,=,EI,1,(,2,LL,2,PL,(L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,结构位移计算,返 回,例 64 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。EI=常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y2,y3,+,解：,1.作MP图,2.作,图,3.图乘计算,y1=,y2=,y3=,Cy=,y1,MP图,2,3,结构位移计算,返 回,例 65 试求图示梁B端转角,解:,MP,Mi,例 66 试求图示结构B点竖向位移,解:,MP,Mi,图,图,例 67 求图示梁(EI=常
13、数,跨长为l)B截面转角,解:,例 69 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 610 已知 EI 为常数，求A点竖向位移。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,q,例 611 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,例 611 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移。,例 611 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移。,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.,作变形草图,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸
14、方向，注意反弯点的利用。如：,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度可能不同,已知 EI 为常数，求B截面转角。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点水平位移,EI=常数。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求C、D两点相对水平位移。,已知：E、I、A为常数，求。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,若把二力杆换成弹簧,该如何计算?,B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？,P,有弹簧支座的结构位移计算公式为:,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求A点竖向位移,EI=常数。,66 静定结构温度变化时
15、的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。,设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2,求K点的竖向位移Kt。,t1,t2,K,K,Kt,现研究实际状态中任一微段ds,由于温度变化产生的变形。,ds,ds,Kt=,此时由式（64）可得,h,t1,t2,t2ds,t1ds,dt,dut=(t1ds+t2ds)/2=tds,(a),(b),K,ds,PK=1,ds,实,虚,式中,dt=(t2ds-t1ds)/h=,t=t2t1,(c),h,tds,式中,将式（b)、(c)代入式（a)，得,Kt=,（610）,温度变化不会引起剪切变形，即t=0,结构位
16、移计算,返 回,Kt,（610）,若各杆均为等截面时，则有,Kt,（611）,在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。,梁和刚架可略去轴力的影响。,桁架在温度变化时的位移计算公式为,Kt=,（612）,桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长度的制造误差为,L,其位移计算公式为,K=,（613）,结构位移计算,返 回,例：65 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,L,L,t1,t2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A
17、,A,1,虚,1,代入式（611），并注意正负号(判断)，,L,Ay,可得,t1=,1020=30,内侧温度变 化,t2=020=20。,t=(t1+t2)/2=25,t=t2t1=10,结构位移计算,返 回,67 静定结构支座移动时的位移计算,对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为,Kc=,（614）,例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解：虚拟状态如图。,A,B,C,1,由（614）式得,A,=0.0075rad,虚,结构位移计算,返 回,68
18、线弹性结构的互等定理,（1）功的互等定理：,第一状态M1、N1、Q1、P1、21,1,2,P1,21,1,2,P2,12,第二状态M2、N2、Q2、P2、12,据虚功原理有,W21=Wi21,W12=,W21=,或,W12=W21,故,P112=P221,（615），,（616）,第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,P112,P221,W12=Wi12，,证明如下：,结构位移计算,返 回,（2）位移互等定理:,1,2,P1=1,21,1,2,P2=1,12,据功的互等定理,112=121（影响系数）,即,12=21,（617）,P1=1,A,A,B,B,C,C,A,M=1,fC,A=fc,又如：,第二个单位力所引起的第一 个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力 所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。,有,结构位移计算,返 回,（3）反力互等定理：,1=1,2=1,据功的互等定理,r121=r212,即,r12=r21（618）,（4）反力位移互等定理：,支座1发生单位位移所引起 的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支 座1的反力。,1,2,r21,1,2,r12,单位力所引起的某支 座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力 作用点沿其方向的位移。（略）,结构位移计算,返 回,
